Minimización de Errores Cuadrados

Universidad de Chile
E c o n o m í a & N e g o c i o s
TAREA No. 2
Otoño 2013
Ayudante: - Diana Palacios –

PLANTEAMIENTO Y DESARROLLO

PROBLEMA 1

Parte i.
Supongamos que por los conjuntos de muestras pasará un plano

De esta forma, la distancia vertical al cuadrado del punto y1 a viene dada por , esto es

Luego, la suma de distancias al cuadrado será:

Donde son parámetros a determinarpor medio de la minimización de este error cuadrático. Nos enfrentamos a un problema de optimización irrestricta que solucionamos tomando .

Es decir,

Análogamente,


Y finalmente,



Con esto obtenemos un sistema de 3x3:




Donde todas las sumatorias son conocidas ya que son parte del conjunto de observaciones. Las incógnitas a despejar de este sistema son los . Para ellos, escribimosmatricialmente:


Donde, (1)

Y así finalmente, suponiendo que es invertible, tenemos que:

Es decir, se puede despejar por eliminación Gaussiana, regla de Cramer o Calculando la inversa. Para este informe utilizaremos el método de la inversa y lo resolveremos con ayuda de Excel, donde las variables de decisión serán los .
Con los datos entregados en el archivo Base_datos_01.xls y reemplazándolos en (1),formamos las siguientes matrices
Matriz φ
 
 
 
Matriz γ
 
 
849
3381,651
2456,107
 
14828,493
 
3381,651
68333,197
9881,18792
 
170140,063
 
2456,107
9881,18792
14008,760
 
63922,5701






Minversa φ
 
 
 
Matriz β
 
 
0,00267341
-7,1851E-05
-0,00041804
β0
0,69576374
 
-7,1851E-05
1,8227E-05
-2,5947E-07
β1
2,0191884
 
-0,00041804
-2,5947E-07
0,00014486
β2
3,01680672

Los comandos utilizados fueron:=Minvers(“Matriz”)
=MMult(“Matriz1”;”Matriz2”)

Parte ii
Partiendo del modelo entregado

Sabemos que,

De esta forma el error cuadrado, que se genera si sumamos las diferencias cuadráticas queda d ela siguiente forma:

Nuestra finalidad es minimizar a suma de los cuadrados de las distancias euclidianas entre cada punto observado y el modelo estimado, en otras palabras, queremos minimizar la sumade los cuadrados de errores estimados del modelo Como sabemos qué;

Es el valor para la suma de los cuadrados, entonces estamos buscando minimizar {}
Basándonos en esto podemos decir que:

Por lo cual nuestra función a minimizar es , donde es el valor de B que minimiza la función (1)

Ahora, sabemos que Y, X y , son matrices por lo cual se cumple que:

Que además son escalares 1x1
Así elproblema es equivalente a:

Con esto ya es posible realizar nuestro problema de minimización, y considerar la condición de primer orden donde , con



Ahora debemos despejar el valor de :

Multiplicamos ambos lados por la inversa de y al mismo tiempo dividimos por 2

Así por la propiedad de las matrices , demostramos que

Si aplicamos el cambio:

Utilizando obtenemos , donde , lo primero serádespejar , para lo cual multiplicaremos por la inversa de Q ambos lados:

Obteniendo:


Ahora, en nuestra nueva ecuación , con , buscaremos D para minimizar los errores cuadrados
Sabemos que , con = valor de D que minimiza la función ¥, si reemplazamos M en la ecuación obtenemos:

Finalmente, con una nueva matriz , buscamos el valor obtenido de












PROBLEMA 2
Parte i.
Usando los datosentregados en el archivo Excel Datos P2.xls, encuentre cual turno de trabajadores debe partir primero cuál en segundo lugar y cuál en tercero, a cuanto asciende el costo total asociado a satisfacer totalmente la demanda y comente si importa a qué ciudad se satisface primero la demanda.

DIAGRAMA DEL PROCESO.

Del enunciado, el flujo de material desde su extracción hasta la entrega al cliente final es elsiguiente.


FUNCIÓN OBJETIVO

De acuerdo con los datos de producción, flujo del material y costos asociados a cada etapa del proceso, podemos definir la función objetivo como sigue.

CTotal = CProducción + CTraslado + CAlmacenaje + CDespacho

Donde los costos de cada etapa del proceso se obtienen multiplicando las cantidades producidas por sus respectivos costos unitarios.


1.- COSTO DE...