Minimos Cuadrados

M´ todos Matem´ ticos de Especialidad
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Ingenier´a El´ ctrica
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M´nimos cuadrados
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1
Jos´ Luis de la Fuente O’Connor
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jl.delafuente@iberdrola.es
jldelafuente@etsii.upm.es
Escuela T´ cnica Superior de Ingenieros Industriales
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Universidad Polit´ cnica de Madrid
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Clase_mincua_1_06.pdf

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´ndice
I

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1. Introduccion
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2.Fundamentos teoricos
• Sistemas incompatibles. Ecuaciones normales
• Sistemas indeterminados
´
´
3. Resolucion numerica del problema
´
• Factorizacion QR

•
•
•
•

– Transformaciones de Householder
– Transformaciones de Givens
´
– Transformaciones rapidas de Givens
´
Metodo de Gram-Schmidt
´
Metodo de Gram-Schmidt modificado
´
´
Descomposicion numerica en valores singulares
´
´Comparacion de los metodos

´
4. Matlab y la solucion de problemas de m´nimos cuadrados
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´
Introduccion
– El conocimiento del estado en que funcionan muchos sistemas de la
vida cotidiana exige la toma de medidas en tiempo real con diversos
aparatos.
´
– Cualquier medida siempre esta sujeta a errores por el desajuste del
´
aparato que la realiza, malacalibracion, etc.
– Par paliar el efecto de esos errores, se recurre a la toma de un numero
´
´
de medidas redundante de los parametros a determinar, para as´ filtrar
ı
o identificar los posibles errores y aislarlos.

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´
– La redundancia de medidas, en el modelo matematico correspondiente,
conduce a sistemas de ecuaciones, normalmente, incompatibles:
´
´
con muchasmas ecuaciones que incognitas.
´
´
´
– Para obtener una solucion razonable, o pseudosolucion, que mas se
aproximase a la ideal si no se diesen esos errores, se proyecta el
´
problema en otro de menor dimension –otro subespacio– para suprimir
o filtrar los datos irrelevantes.
´
´
´
• La proyeccion mas adecuada es la que determina el metodo de los
´
m´nimos cuadrados (ver teorema de laproyeccion).
ı
– Recordemos la figura que introduc´amos al hablar de sistemas lineales.
ı
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m=n

m=n
·

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·

=

rango(A) = m = n

·

=

rango(A) < m = n

1a

=

1b

m>n

·

=

m>n

rango(A) = n < m

rango(A) < n < m

2a

2b

m x=[1 2 3 4];
>> y=[2 3 5 6];
>> p=polyfit(x,y,2)
p =
-0.0000
1.4000

0.5000

>> x1=linspace(0,5,150);>> y1=polyval(p,x1);
>> plot(x,y,’o’,x1,y1,’-’)
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– Se obtendr´an los resultados que indica la figura: la l´nea recta
ı
ı
y = 0, 5 + 1, 4t.

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6

5

4

3

2

1

0

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

– Se obtendr´a lo mismo haciendo
ı
>> Am=[1 1 1;1 2 4;1 3 9;1 4 16]
>> Am\y
ans =
0.500000000000001.40000000000000
-0.00000000000000

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´ndice
I

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1. Introduccion
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2. Fundamentos teoricos
• Sistemas incompatibles. Ecuaciones normales
• Sistemas indeterminados
´
´
3. Resolucion numerica del problema
´
• Factorizacion QR
– Transformaciones de Householder
– Transformaciones de Givens
´
– Transformaciones rapidas de Givens
´
Metodo de Gram-Schmidt
´
Metodo deGram-Schmidt modificado
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´
Descomposicion numerica en valores singulares
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Comparacion de los metodos

•
•
•
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4. Matlab y la solucion de problemas de m´nimos cuadrados
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Fundamentos teoricos

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Teorema 1 Descomposici´ n en valores singulares. Si A ∈ Rm×n es una
o
matriz de rango r, existen matrices ortogonales U ∈ Rm×m y V ∈ Rn×n
tales que
A= U ΣV T ,
(1)
donde

Σ=

Σr 0
,
0 0

Σ ∈ Rm×n y Σr = diag(σ1, σ2, . . . , σr ), con
σ1 ≥ σ2 ≥ · · · ≥ σr > 0.
Si las matrices U y V se escriben como

U = [u1, . . . , um]

y

V = [v 1, . . . , v n] ,

los ui y v i son los vectores singulares izquierdos y derechos, respectivamente, correspondientes a los valores singulares σi , i = 1, . . . , r .

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