MINIMOS CUADRADOS
Páginas: 5 (1156 palabras)
Publicado: 28 de junio de 2013
FISICA I
Escuela Politécnica de Ingeniería de Minas y Energía
Torrelavega
AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS
Existen numerosas leyes físicas en las que se sabe de antemano que dos magnitudes x
e y se relacionan a través de una ecuación lineal
y = ax + b
donde las constantes b (ordenada en el origen) y a (pendiente) dependen del tipo de sistema
que se estudia y, a menudo, son los parámetrosque se pretende encontrar.
EJEMPLO: La fuerza F de tracción sobre un muelle y el alargamiento l que experimenta
éste están ligadas a través de una ley lineal:
l = (1/K)F
con ordenada en el origen cero y donde el inverso de la pendiente (K) es una característica
propia de cada muelle: la llamada constante elástica del mismo.
El método más efectivo para determinar los
parámetros a y b seconoce como técnica de mínimos
cuadrados.
Consiste en someter el sistema a diferentes
condiciones, fijando para ello distintos valores de la
variable independiente x, y anotando en cada caso el
correspondiente
valor
medido
para
la
variable
dependiente y. De este modo se dispone de una serie
de
puntos
(x1,y1),
....
(xn,yn)
que,
representados
gráficamente,deberían caer sobre una línea recta. Sin
embargo, los errores experimentales siempre presentes
hacen que no se hallen perfectamente alineados (ver
Fig. 1). El método de mínimos cuadrados determina los
valores de los parámetros a y b de la recta que mejor se
Ajuste por mínimos cuadrados
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ajusta a los datosexperimentales. Sin detallar el procedimiento, se dará aquí simplemente el
resultado:
donde n es el número de medidas y Σ representa la suma de todos los datos que se indican.
Los errores en las medidas, se traducirán en errores en los resultados de a y b. Se
describe a continuación un método para calcular estos errores. En principio, el método de
mínimos cuadrados asume que, al fijar lascondiciones experimentales, los valores yi de la
variable independiente se conocen con precisión absoluta (esto generalmente no es así, pero lo
aceptamos como esencial en el método). Sin embargo, las mediciones de la variable x, irán
afectadas de sus errores correspondientes, si ε es el valor máximo de todos estos errores,
entonces se tiene:
La pendiente de la recta se escribirá
, y laordenada en el origen
.
El coeficiente de correlación es otro parámetro para el estudio de una distribución
bidimensional, que nos indica el grado de dependencia entre las variables x e y. El coeficiente
de correlación r es un número que se obtiene mediante la fórmula:
Su valor puede variar entre 1 y -1.
Ajuste por mínimos cuadrados
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Torrelavega
Si r = -1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlación que es
perfecta e inversa.
Si r = 0 no existe ninguna relación entre las variables.
Si r = 1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlación que es
perfecta y directa.
Ejemplo: Supongamos un muelle sometido a tracción, se ha cargado el muelle condiferentes pesos (F, variable independiente o y ) y se han anotado los alargamientos (l variable
dependiente o x)
Cargas
sucesivas F(yi)
gramos
200
400
500
700
900
1000
Lecturas
sucesivas (xi)
L
mm
60
120
150
210
260
290
Los distintos datos que se necesitan son:
n
6
Σxi
1090
2
236300
Σyi
3700
2
2750000
Σxiyi
806000
Σxi
Σyi
ε
0,2con lo cual aplicando las expresiones [1] , [2], [3] y [4]
b = -18,4153; a =3,4959 ; Δb =0,08164966; Δa =0,00102217; r = 0,9995
Redondeando en la forma usual b = -18,42 ± 0,08 mm; a =3,50 ± 0,00 mm/Kp
Ajuste por mínimos cuadrados
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No se debe olvidar que se persigue el valor de la constante elástica...
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AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS
Existen numerosas leyes físicas en las que se sabe de antemano que dos magnitudes x
e y se relacionan a través de una ecuación lineal
y = ax + b
donde las constantes b (ordenada en el origen) y a (pendiente) dependen del tipo de sistema
que se estudia y, a menudo, son los parámetrosque se pretende encontrar.
EJEMPLO: La fuerza F de tracción sobre un muelle y el alargamiento l que experimenta
éste están ligadas a través de una ley lineal:
l = (1/K)F
con ordenada en el origen cero y donde el inverso de la pendiente (K) es una característica
propia de cada muelle: la llamada constante elástica del mismo.
El método más efectivo para determinar los
parámetros a y b seconoce como técnica de mínimos
cuadrados.
Consiste en someter el sistema a diferentes
condiciones, fijando para ello distintos valores de la
variable independiente x, y anotando en cada caso el
correspondiente
valor
medido
para
la
variable
dependiente y. De este modo se dispone de una serie
de
puntos
(x1,y1),
....
(xn,yn)
que,
representados
gráficamente,deberían caer sobre una línea recta. Sin
embargo, los errores experimentales siempre presentes
hacen que no se hallen perfectamente alineados (ver
Fig. 1). El método de mínimos cuadrados determina los
valores de los parámetros a y b de la recta que mejor se
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ajusta a los datosexperimentales. Sin detallar el procedimiento, se dará aquí simplemente el
resultado:
donde n es el número de medidas y Σ representa la suma de todos los datos que se indican.
Los errores en las medidas, se traducirán en errores en los resultados de a y b. Se
describe a continuación un método para calcular estos errores. En principio, el método de
mínimos cuadrados asume que, al fijar lascondiciones experimentales, los valores yi de la
variable independiente se conocen con precisión absoluta (esto generalmente no es así, pero lo
aceptamos como esencial en el método). Sin embargo, las mediciones de la variable x, irán
afectadas de sus errores correspondientes, si ε es el valor máximo de todos estos errores,
entonces se tiene:
La pendiente de la recta se escribirá
, y laordenada en el origen
.
El coeficiente de correlación es otro parámetro para el estudio de una distribución
bidimensional, que nos indica el grado de dependencia entre las variables x e y. El coeficiente
de correlación r es un número que se obtiene mediante la fórmula:
Su valor puede variar entre 1 y -1.
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Si r = -1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlación que es
perfecta e inversa.
Si r = 0 no existe ninguna relación entre las variables.
Si r = 1 todos los puntos se encuentran sobre la recta existiendo una correlación que es
perfecta y directa.
Ejemplo: Supongamos un muelle sometido a tracción, se ha cargado el muelle condiferentes pesos (F, variable independiente o y ) y se han anotado los alargamientos (l variable
dependiente o x)
Cargas
sucesivas F(yi)
gramos
200
400
500
700
900
1000
Lecturas
sucesivas (xi)
L
mm
60
120
150
210
260
290
Los distintos datos que se necesitan son:
n
6
Σxi
1090
2
236300
Σyi
3700
2
2750000
Σxiyi
806000
Σxi
Σyi
ε
0,2con lo cual aplicando las expresiones [1] , [2], [3] y [4]
b = -18,4153; a =3,4959 ; Δb =0,08164966; Δa =0,00102217; r = 0,9995
Redondeando en la forma usual b = -18,42 ± 0,08 mm; a =3,50 ± 0,00 mm/Kp
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