Mios

Matemática para todos
El mundo de los movimientos Geometría III y de las simetrías
Fascículo
Juan Manuel Cajigal y Odoardo (1803-1856)
Ingeniero, militar, matemático y periodista venezolano

“Los que conocen a este señor deploraban y deploran que no se haya hecho uso de las ventajas que ofrece un joven venezolano que a una vasta ilustración en las matemáticas que ha estudiado por más decatorce años en España y Francia, une la noble ambición de consagrarse al bien de su país sin más recompensa, además de una módica subsistencia, que el honor de tributarle sus servicios y merecer de este modo la estimación pública”.
José María Vargas, refiriéndose a Juan Manuel Cajigal (en el tope), en su informe del 3 de octubre de 1830 en relación con la creación de la Academia de Matemática, dela que Cajigal fue su primer maestro y primer director.

Wapa de la etnia panare donde se observan simetrías.
Fotografía: Cristina Paván, Casa Alejo Zuloaga. San Joaquín, estado Carabobo.

Descubriendo el mundo de los movimientos

La geometría no es sólo el estudio de las figuras y sus propiedades, sino también los movimientos de esas figuras. El deslizarse en una patineta o en una pista dehielo, trasladarse en una escalera mecánica, girar en un auto o en la rueda o verse en un espejo son movimientos físicos. Algo interesante en estos movimientos es que la persona o el objeto que se desliza, gira o se voltea no cambia de forma ni tamaño. Esos movimientos inducen en la geometría el estudio de las transformaciones de figuras. Traslación, rotación, reflexión de figuras son movimientosestudiados por la geometría. La geometría describe los movimientos al estudiar la correspondencia entre los puntos de la figura original y los puntos de la nueva figura o imagen.

Cada imagen es la transformada de una figura. Observa en las imágenes de abajo cómo a cada punto de la figura original (A) le corresponde un solo punto de la imagen (A’) y a cada punto de la imagen le corresponde unsolo punto de la figura original. Estas transformaciones tienen algo adicional: no cambian el tamaño ni la forma de la figura, sólo cambian su posición. Estas transformaciones se llaman isometrías. La palabra isometría (iso: igual, metría: medida) describe muy bien estos movimientos. Las traslaciones, rotaciones y reflexiones son isometrías. Veremos como estos movimientos son utilizados en losdiseños de papel tapiz, diseños de cerámicas y en el arte en general.

I sometríassaírtemos I
A

A

TRASLACIÓN

ROTACIÓN REFLEXIÓN
A ’A

A’

Original

Imagen

050

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 4 - El mundo de los movimientos y de las simetrías - GEOMETRÍA 3

Imagen Original negamI
A’

Original

Simetría axial o reflexión respecto de una recta(bilateral)
En la naturaleza, en el arte, en las cerámicas, papeles de decoración de las paredes (ornamentación geométrica) y otros, se encuentran simetrías bilaterales (reflexiones respecto de rectas o ejes).
Eje de simetría

Eje

t

ppppppppppp
La secuencia de letras b es simétrica de la secuencia de letras p respecto al eje t.

Torre Eiffel
París, Francia.

Estrella de seis puntas (laestrella de David) simétrica según diversos ejes. Dibuja los otros ejes de simetría.

Eje

Completa la figura según el eje de simetría

Fundación POLAR • Matemática para todos • Fascículo 4 - El mundo de los movimientos y de las simetrías - GEOMETRÍA 3

ppppppppppp
051

Simetría axial o reflexión respecto de una recta (bilateral)
Iglesia de Santa Teresa
Caracas, 27 de octubre de 1876Ej

er

El hexágono regular y la flor con seis pétalos son simétricos respecto al eje r . Dibuja los otros ejes de simetría.

En diseños geométricos hay gran variedad de simetrías bilaterales.

P’

S

S’

P

Una reflexión o simetría axial es una isometría del plano que deja fijos los puntos de una recta r (el eje de reflexión o de simetría). Si P es un punto que no pertenece al...