mis documentos de la escuela

Cap__tulo 6
Ecuaciones no Algebraicas
G eneralmente para lograr resolver problemas de la vida cotidiana utilizando matem_atica, se
ocupan ecuaciones algebraicas, ya que estas son su_cientes para la mayor__a de los problemas
que nos puedan acontecer.
Sin embargo, en el estudio m_as acabado de la matem_atica te encontrar_as en circunstancias
en que un problema solo puede ser resuelto con lasllamadas Ecuaciones no Algebraicas, como
por ejemplo para describir fen_omenos del electromagnetismo.
Las llamadas ecuaciones no algebraicas son aquellas en que la inc_ognita o variable a encontrar
no esta presente en un polinomio, por lo que no nos ser_an de utilidad los m_etodos de resoluci_on
que vimos anteriormente.
Las ecuaciones no algebraicas que estudiaremos son principalmente lasEcuaciones Exponenciales
y las Ecuaciones Logaritmicas.
Versi_on 1.0, Enero de 2008
6.1. Ecuaci_on Exponencial
Las ecuaciones exponenciales son aquellas ecuaciones en que la inc_ognita esta presente en el
exponente de una cantidad.
 Por ejemplo:
y 3x+1 + 1 = 2 , Si es una ecuaci_on exponencial.
y 3x2 + 8x = 8 , No es una ecuaci_on exponencial.
6.1.1. Resoluci_on de Ecuaciones ExponencialesPara resolver las ecuaciones exponenciales principalmente ocupamos las siguientes propiedades:
1. ab = ac , b = c
2. ab = cb , a = c
Es decir, debemos lograr igualar las bases de las potencias de _estas ecuaciones para de _esta
manera poder \trasformar" una ecuaci_on exponencial en una ecuaci_on algebraica.
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6. Ecuaciones no Algebraicas
 Ejemplo 1
5x+9 = 125
5x+9 = 53
) x + 9 = 3
x= 3 􀀀 9
x = 􀀀6
 Ejemplo 2
3x+1 􀀀 2 = 25
3x+1 = 25 + 2
3x+1 = 27
3x+1 = 9 _ 3
3x+1 = 3 _ 3 _ 3
3x+1 = 33
) x + 1 = 3
x = 3 􀀀 1
x = 2
 Ejemplo 3
84x􀀀8 􀀀 9 = 􀀀8
84x􀀀8 = 􀀀8 + 9
84x􀀀8 = 1
84x􀀀8 = 80
) 4x 􀀀 8 = 0
4x = 8
x =
8
4
x = 2
| Actividad 6.1.
Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales:
1. 2x􀀀5 = 1 6. 4x = 1
64 11. 5 p
32x 􀀀 1 􀀀 1 = 0
2. 43x+6 􀀀 22x􀀀7 = 0 7. 4p
a6x+2 = ax􀀀9 12.
p
10242x+8 = 2x
3. 83x+5 = 4x􀀀1 8.
p
4x 􀀀 3 p
8x+1 = 0 13. 81x = 1
243
4. 10x(x+1) = 1 9. _9x = _
5. 2562x+5 􀀀 2x = 2x 10. 10 p
9x2 = 3
78 P. Paredes
M. Ram__rez Prueba de Selecci_on Universitaria
6.2. Ecuaci_on Logar__tmica
6.2. Ecuaci_on Logar__tmica
6.2.1. Signi_cado de un Logaritmo
El logaritmo de un n_umero es el exponente al que hay que elevar otron_umero llamado base
para obtener el n_umero en cuesti_on.
 Por ejemplo, veamos las potencias del n_umero 3.
30 = 1
31 = 3
32 = 9
33 = 27
...
As__, el logaritmo en base 3 de 1 es 0, ya que 0 es el exponente al que hay que elevar 3 para
dar por resultado 1; de la misma manera el logaritmo de base 3 de 3 es 1, el logaritmo en
base 3 de 9 es 2, el logaritmo en base 3 de 27 es 3, etc.
Lanotaci_on que ocupamos para representar los logaritmos es la siguiente:
loga b = c
Y se lee el logaritmo en base a de b es c.
La notaci_on anterior del logaritmo, la podemos explicar de la siguiente manera:
loga b = c , ac = b
Cuando no se escribe la base de un logaritmo se asume que esta es 10, es decir:
log a = log10 a
6.2.2. Propiedades de los Logaritmos
1. La base de un logaritmo no puede sernegativa, ya que si lo fuera sus potencias pares
ser__an positivas y las impares negativas, y tendr__amos una serie de n_umeros alternadamente
positivos y negativos, resultando n_umeros positivos que no tendr__an logaritmo.
2. Los n_umeros negativos no tienen logaritmo, ya que siendo la base positiva, cualquiera
de sus potencias es siempre un n_umero positivo.
3. Para cualquier logaritmo, ellogaritmo de la base es siempre 1, pues siendo una base
a, entonces a1 = a, es decir:
loga a = 1 8 a
4. Para cualquier logaritmo, el logaritmo de 1 es 0, pues para todo a 6= 0 se tiene que
a0 = 1, es decir:
loga 1 = 0 8 a
Matem_atica P. Paredes
M. Ram__rez 79
6. Ecuaciones no Algebraicas
5. El logaritmo de un producto, es la suma de sus logaritmos, es decir:
loga(b _ c) = loga b +...