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APLICACIONES DE LA DERIVADA

Problemas Resueltos.

Prof. Luis Núñez

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Resolución de problemas de optimización. Son problemas en los que se trata de optimizar una función. Por ejemplo, en una producción obtener los mayores beneficios con los mínimos gastos. Con los datos del problema hay que construir una función que se ha de maximizar o minimizar dentro de las condiciones exigidasen el planteamiento del problema, estas condiciones deben ser consideradas cuando se busca el dominio de la función. Ejemplo 1. De una lámina cuadrada de lado 10 cm. se cortan cuadrados en cada uno de los vértices con el objeto de hacer una caja abierta por arriba. Calcula el lado del cuadrado que se debe cortar para que el volumen de la caja sea máximo.

10

Volumen de la caja = (10 − 2 x)(10− 2 x) x V = (100 − 40 x + 4 x 2 ) x V = 4 x 3 − 40 x 2 + 100 x (Función a maximizar) V ′ = 12 x 2 − 80 x + 100 ; V ′′ = 24 x − 80 20 ± 100 20 ± 10 5  = = 5 6 6  3  V ′′(5) = 24.5 − 80 = 40 > 0 (mínimo, no se forma caja) V ′′( 5 ) = 24. 5 − 80 = −40 (máximo). La solución es x = 5 3 3 3 Respuesta: La longitud del cuadrado a recortar para obtener la caja con máximo volumen es 5/3 cm. 12 x 2 −80 x + 100 = 0 ⇒ 3 x 2 − 20 x + 25 = 0 ; x = Ejemplo 2 Un pastor dispone de 1000 metros de tela metálica para construir un cerco rectangular aprovechando una pared ya existente. Halla las dimensiones del cerco a fin de que el área encerrada sea máxima.

x

y x

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Perímetro = x+2y =1000 ⇒ x = 1000 – 2y Área =x . y, es decir, A = y (1000 − 2 y ) A = 1000 y − 2 y 2 (Función a maximizar ) A′ = 1000 − 4 y ; A′′ = −4 1000 − 4 y = 0 ⇒ y = 250 Como la segunda derivada es negativa se trata de un máximo. x = 1000 − 2 y = 1000 − 2.250 = 5000 Las dimensiones serán: 500 metros de largo y 250 de ancho.

Ejercicios resueltos.
1.- Estudia el crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones : 2 5x − 4 a) f( x) = ; b) f ( x) = x 2x + 1 Solución: 2 −2 = 2 x −1 ; f ′( x) = −2 x − 2 = 2 x x como f ’(x) 0 (positiva) Se obtienen así los siguientes intervalos de crecimiento y decrecimiento: Intervalos Signo de la derivada Función (-’-1) (-1, +’ +

Â

À

3.- Halla los valores de a y b en la función f ( x) = x 2 + ax + b sabiendo que pasa por el punto P(-2, 1) y tiene un extremo relativo en elpunto de abscisa x = -3 Solución: Si pasa por el punto (-2, 1), para x = -2 la función vale 1, es decir, (−2) 2 + a (−2) − b = 1 ⇒ − a − b = −3 Como tiene un extremo para x = -3 y es una función polinomica y por tanto derivable, su derivada se anula en dicho punto, es decir, f ′( x) = 2 x + a ⇒ 2(−3) + a = 0 ⇒ a = 6 Y sustituyendo en la ecuación –a –b = -3 se obtiene el valor de b − 6 − b = −3 ⇒ b =-3 4.- Halla a, b y c en la función f ( x) = ax 3 + bx 2 + cx + d sabiendo que el punto P(0,4) es un máximo y el punto Q(2,0) un mínimo. Solución: La función pasa por (0,4), por tanto, a.0 3 + b.0 2 + c.0 + d = 4 ⇒ d = 4 La función pasa por (2,0), por tanto, a.2 3 + b.2 2 + c.2 + d = 0 Luego 8a + 4b + 2c + d = 0 Por otra parte, el punto P(0, 4) es un máximo lo que indica que su derivada se anulapara x = 0, es decir, f ′( x) = 3ax 2 + 2bx + c ; f ′(0) = 3a.0 2 + 2b.0 + c = 0 ⇒ c = 0 Como el punto Q(2,0) es un mínimo, su derivada se anula para x = 2: 3a.2 2 + 2b.2 + c = 0 ⇒ 12a + 4b + c = 0 Formando un sistema con las 4 ecuaciones obtenidas resulta:

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d = 4 8a + 4b + 2c + d = 0   c = 0 12a + 4b + c= 0 

8a + 4b = −4  2 a + b = −1 ⇒  ⇒  12a + 4b = 0 3a + b = 0

− 2 a − b = 1 ⇒ a = 1; b = -3  3a + b = 0

5.- Entre todos los rectángulos de perímetro 12 cm. ¿cuál es el que tiene la diagonal menor?. Solución: d

y

x Perímetro: 2 x + 2 y = 12 ⇒ x + y = 6 ⇒ y = 6 − x (condición que se ha de cumplir) Función a minimizar: x 2 + y 2 = d 2 ⇒ d = x 2 + y 2 = x 2 + (6 − x) 2 Es...