Model Cap 4c

Capítulo IV
Solución de Ecuaciones Diferenciales
Parciales Elípticas
4.1

Clasificación de las Ecuaciones Diferenciales Parciales
Las ecuaciones diferenciales parciales (EDPs) de segundo orden se pueden
clasificar en tres tipos: Elípticas, Parabólicas e Hiperbólicas. Para distinguir dichos
tipos de EDPs, consideremos la siguiente forma general de una ecuación
diferencial parcial lineal de segundoorden de dos variables:
A

∂ 2φ
∂ 2φ
∂φ
∂φ
∂ 2φ
+
B
+
C
+D
+E
+ Fφ + G = 0
2
2
∂x∂y
∂x
∂y
∂x
∂y

(68)

donde φ =φ (x, y ) es la función o variable dependiente; x e y son las variables
independientes; A, B, C, D, E, F y G son funciones dadas de x, y. Ω representa
el dominio.
La ecuación anterior será de uno de los tres tipos, si cumple con una de las
condiciones siguientes:
Elíptica, si ( B 2 − 4AC ) < 0 : No existe dirección característica en Ω
Parabólica, si ( B 2 − 4 AC ) = 0 : Existe 1 dirección característica en Ω
Hiperbólica, si ( B 2 − 4 AC ) > 0 : Existen 2 direcciones características en Ω

38 V. Yzocupe (Mayo 2015)

NOMBRE
MATEMATICO

Elíptico

ECUACION

−

−

Parabólico

2

2

2

2

∂ φ ∂ φ
−
=0
∂x 2 ∂y 2
∂ φ ∂ φ
−
= ξ (x , y )
∂x 2 ∂y 2

∂φ
∂ 2φ
=λ 2
∂t
∂x

λ es constanteHiperbólico

OTROS
NOMBRES

Equilibrio o estado
estacionario,
Conducción de calor
estacionario en
sólidos,
Distribución del
potencial eléctrico,
Flujo potencial.

Ecuación de Laplace

Difusión de partículas,
Conducción de calor,
Flujo en medios
porosos.

Ecuación de Fourier
o Difusión pura

2
∂ 2φ
2 ∂ φ
=
C
∂t 2
∂x 2

Ondas elásticas,
acústicas y
electromagnéticas.

∂φ
∂φ
+k
=0
∂t
∂x

Propagación,Transporte convectivo
de la materia.

C, k son constantes

4.2

PROBLEMAS
DESCRITOS

Ecuación de Poisson

Ecuación de onda

Ecuación de
advección pura

Ecuaciones Diferenciales Parciales Elípticas
Las EDP elípticas aparecen en problemas estacionarios de dos y tres dimensiones.
Entre los problemas elípticos típicos están la conducción de calor en sólidos, la
difusión de partículas y la vibración demembranas. Otra aplicación en
hidrodinámica, es el problema del “flujo potencial”.
Las ecuaciones elípticas requieren condiciones de frontera especificadas en todas
las fronteras de una región de la superficie solución, aunque tales fronteras
puedan ser “cerradas al infinito”. Estos datos de frontera pueden consistir de
valores de la función (tipo Dirichlet), de su derivada normal (tipo Neumann), ode
una combinación de ambos (tipo Cauchy). La frontera debe envolver
completamente la región solución, aún si una frontera esta localizada en el
infinito. Las discontinuidades u otras perturbaciones en la frontera desaparecen
rápidamente porque no logran propagarse con fuerza hacia el interior de la
solución.
Las EDP elípticas se pueden escribir en la siguiente forma general:
−∇p( x , y ) ∇φ ( x, y ) + q( x , y )φ ( x , y ) = S( x , y )

(69)

donde p, q y S son funciones dadas y q ≥ 0 . Cuando p = 1 y q = 0, la ecuación
(69) se transforma en la ecuación de Poisson o Laplace:

Solución de Ecuaciones Diferenciales Parciales 39

Ecuación de Poisson: − ∇ 2φ ( x , y ) = S( x , y )
Ecuación de Laplace:

− ∇ 2φ ( x , y ) = 0

(70)

Una EDP elíptica puede contener derivadas de primer orden,como:
− ∇p ∇φ + u( x , y )

∂
∂
φ + v( x , y ) φ + qφ = S
∂x
∂y

(71)

donde u y v son funciones dadas. En dinámica de fluidos, u y v se conocen como
los términos advectivos. Si éstos dominan al primer término, la ecuación tiene un
comportamiento más parecido al de una EDP hiperbólica.
Los métodos de solución numérica para las EDP elípticas se pueden clasificar en
dos categorías: a) método dediferencias finitas y b) método de elementos finitos.
El primero se aplica a una malla rectangular y tiene la ventaja que se dispone de
numerosas técnicas de solución. La ventaja del segundo es que puede adaptarse
mejor a los contornos de geometrías curvas o irregulares.
4.3

Solución de una EDP Elíptica para Geometrías Rectangulares
En esta sección obtendremos las ecuaciones en diferencias finitas...