modela

Teoría de Conjuntos

Conjuntos y elementos
v Notación: A = { Batman, Superman, Centella }
v Un conjunto se encuentra completamente
determinado por sus elementos.
v El orden de los elementos en un conjunto es
irrelevante. Los elementos podrían figurar listados
más de una vez.
v Ejemplos que referencian a un mismo conjunto:
§  { Batman, Superman, Centella }
§  { Centella,Superman, Batman }
§  { Batman, Batman, Superman, Centella, Centella,
Centella }
Franco Guidi Polanco

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Elementos
v Si S es un conjunto,
§  a ∈ S : a es un elemento de S
§  a ∉ S : a no es un elemento de S

v Ejemplo:
§  Si S = { Batman, Superman, Centella } , entonces
Centella ∈ S

v Notar que:
§  Centella es un elemento del conjunto.
§  { Centella } es un conjunto quecontiene un único
elemento.
§  Por lo tanto Centella ≠ { Centella }
Franco Guidi Polanco

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Elementos y conjuntos
v Un conjunto puede ser elemento de otro conjunto.
Por ejemplo:
{ Batman , { Batman } }
es un conjunto cuyos elementos son el nombre
Batman y el conjunto { Batman }.

Franco Guidi Polanco

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Especificación de conjuntos
v Un conjunto puede ser especificado porcomprensión :
A = { x ∈ S | P(x) }
v Se lee el “conjunto de todos los x que pertenecen
a S, tal que P(x)”.
v Un elemento x pertenece a A si y sólo si el
elemento x pertenece a S y P(x) es verdadero.
v  En otras palabras, A es el set de verdad del
predicado P(x), con x en el dominio S.
v En el contexto de Conjuntos, típicamente se dice
“la propiedad P(x)” en lugar de “el predicadoP(x)”
Franco Guidi Polanco

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Ejemplos
v A = { x ∈ Z | -3 < x < 4 }
v A = {-2, -1, 0, 1, 2, 3 }
v B = { x ∈ N | -3 < x < 4 }
v B = { 1, 2, 3 }
v C = { x ∈ ProfesorEII | Dicta( x, EII-100) }
v C= { Matilde, Bernardo, Ernesto }

Franco Guidi Polanco

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Definición: Subconjunto
v Si A y B son conjuntos, A es subconjunto de B (escrito
como A ⊆ B) , si y sólo si todo elementode A también es
elemento de B.
v Formalmente:
A ⊆ B ⇔ ∀ x , si x ∈ A entonces x ∈ B
v También se lee: “A está contenido en B” o “B contiene a
A”.
v Para probar que A ⊆ B , se debe verificar que cada
elemento de A está también en B.
v Ejemplo:
§  A = { x ∈ Z+ | x < 5 }
§  B = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 }
Entonces A ⊆ B.
Franco Guidi Polanco

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Subconjuntos
v A ⊄ B se lee Ano es subconjunto de B. Esto
ocurre cuando existe al menos un elemento de A
que no pertenece a B.
v Simbólicamente:
A ⊄ B ⇔ ∃ x tal que x ∈ A y x ∉ B

Franco Guidi Polanco

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Subconjuntos
v Ejemplo: Si
§  A = { Tomás, Catalina, Alessandro, María Jesús, Isidora }
§  B = { Isidora, Catalina }
§  C = { Eduardo, María Jesús }

v Determine cuáles de las siguientes expresionesson
verdaderas:
a) B ⊆ A
b) C ⊆ A
c) B ⊆ B

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Definición: subconjunto propio
v Sean A y B conjuntos. A es un subconjunto propio
de B, si y sólo si cada elemento de A se encuentra
en B, pero hay al menos un elemento de B que no
se encuentra en A.

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Diagramas de Venn para Subconjuntos
v A ⊆ B, puede cumplirse de dos formas:B

A=B
A

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¿En cuál(es) de los siguientes casos se cumple
A ⊄ B?

A

A

B

B
(a)

(b)

A

B
(c)

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Ejemplo
v Relaciones entre los conjuntos Z, Q y R

Z

Q

R

¿Es Z un subconjunto propio de R?

Franco Guidi Polanco

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Distinción entre ∈ y ⊆
v Determine cuáles de las siguientes proposicionesson verdaderas:
§ 
§ 
§ 
§ 
§ 
§ 
§ 

2 ∈ { 1, 2, 3 }
{2} ∈ { 1, 2, 3 }
2 ⊆ { 1, 2, 3 }
{2} ⊆ { 1, 2, 3 }
{2} ⊆ { {1}, {2}, {3} }
{2} ∈ { {1}, {2}, {3} }
2 ∈ { {1}, {2}, {3} }

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Definición: igualdad de conjuntos
v Dados dos conjuntos A y B, A es igual a B, si y
sólo si, cada elemento de A está en B y cada
elemento de B está en A....