modelado de temperatura para un depósito

Ejercicios de modelado de temperatura para un depósito

Ejercicio 1.
En el proceso continuo de la figura el caudal de entrada se supone constante e igual a 1
kg/s. El volumen del tanque es de 1,2 m3, la densidad del líquido es de 1000 kg/m3 y su
capacidad calorífica es de 4 kJ/kg·K. El proceso opera inicialmente en estado
estacionario y la temperatura de entrada del líquido es de 50ºC. Enun instante dado la
temperatura cambia súbitamente a 60ºC.

Figura 1



Establecer un modelo matemático para el proceso sobre la base de las
hipótesis siguientes:
1. El tanque está bien mezclado.
2. El tanque es adiabático.

El modelo matemático para el proceso establecido en base a las hipótesis
anteriores es el siguiente:
La expresión general del balance de energía es la siguiente: Acumulacion  Entrada de
 Salida de  Energia generada 
de energia en  energia en
  energia del  o consumida en el

=
-
±

el elemento de  el elemento de  elemento de  el elemento de 

 
 
 

 volumen
  volumen
  volumen
  volumen


Agustín López García

1

Ejercicios de modelado de temperatura para un depósito

Altratarse de un proceso no estacionario, ya que la temperatura varía con
tiempo, y además no existir reacción química que genere o absorba calor, el
único término del que se puede prescindir es el último del segundo miembro
de la ecuación.

Así el modelo matemático que se plantea para este problema es el siguiente:

d  propiedad acumulada 
 Término de acumulación (EC.1)
dt
Propiedadacumulada =

 kJ 
 kg 
V (m 3 )    3   C p 
 kg  K   T ( K )  V    C p  T (kJ ) (EC.2)

m 


 kJ 
 kg 
 kJ 
  Te ( K )  q  C p  Te   (EC.3)
 Cp 
 kg  K 
 s 
 s 



Entrada = q

 kJ 
 kg 
 kJ 
  T ( K )  q  C p  T   (EC.4)
q   C p 
Salida =
 kg  K 
 s 
 s 


Sustituyendo y haciendo operaciones,se obtiene el siguiente resultado:



d V   Cp T
dt

V   Cp 

Agustín López García

 qC

p

 Te  q  C p  T (EC.5)

dT
 q  C p  Te  q  C p  T (EC.6)
dt

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Ejercicios de modelado de temperatura para un depósito

dT q  C p  Te q  C p  T


dt V    C p V    C p

(EC.7)

dT
q

 Te  T  (EC.8)
dt V  
Donde la temperatura de lacorriente de entrada es Te y la temperatura de
la corriente de salida es T.

A continuación se procederá a determinar la solución analítica de la ecuación
diferencial anterior mediante el método de variables separables.

q
dT

 dt (EC.9)
Te  T V  

T

t

dT
q

 Te  T V     dt
TO
0

(EC.10)

 q 
LnTe  T   LnTe  T0   
 V     t (EC.11)


 T T 
 q 
  
Ln e
 V     t (EC.12)

T T 


 e 0
 q 


 V   t

Te  T
 e   (EC.13)
Te  T0

Agustín López García

3

Ejercicios de modelado de temperatura para un depósito

Te  T  Te  T0   e

 q 



t
 V  

T  Te  Te  T0   e

(EC.14)

 q 

 V   t




(EC.15)

Solución de laecuación diferencial lineal homogénea



Representar la variación de la temperatura de salida en función del tiempo

Este apartado se realizará con el programa Mathcad.

En él se implementará la ecuación diferencial así como la solución analítica
de

la

ecuación

diferencial.

Este

programa

matemático

resolverá

numéricamente la ecuación diferencial así como la soluciónanalítica.

Por último, el programa mediante dos gráficas mostrará el comportamiento
del sistema ante un aumento súbito en la temperatura de la corriente de
entrada, y en otra gráfica se podrá observar la correspondencia que existe
entre la solución numérica y la solución analítica.

Agustín López García

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Figura 2
Tras...