MODELADO, SIMULACION Y CONTROL DE SISTEMAS DINAMICOS

MODELADO, SIMULACION Y CONTROL
DE SISTEMAS DINAMICOS
P.F.PULESTON y F.VALENCIAGA

Nota: Este apunte tiene por objetivo principal introducir al modelado,
simulación y control de sistemas dinámicos empleando Matlab. Gran
parte del material aquí presentado esta basado en los Control Tutorial
for Matlab de la Universidad de Michigan, Demos y Manuales de
Matlab. Abundante informaciónadicional y soluciones a muchos otros
problemas vinculados al control de sistemas, procesamiento de señal y
calculo matricial en general, puede encontrarse en dicha bibliografía.

Parte II. Ejemplo de Aplicación Al Control De
Sistemas
Sección 1: Modelado de un Motor de CC
Ecuaciones físicas del sistema
Requerimientos de Diseño
Representación en MATLAB y respuesta de lazo cerrado

Ecuacionesfísicas del sistema
Un actuador mecánico muy difundido es el motor de CC. Provee directamente
movimiento rotacional y, adecuadamente acondicionado, movimiento traslacional.
El circuito eléctrico de armadura y el diagrama mecánico rotacional, se muestran
en la figura:

Para el ejemplo se consideraron los siguientes parámetros:
* momento de inercia del sistema (J) = 0.01 kg.m^2/s^2
*coeficiente de roce (b) = 0.1 Nms
* constante de fuerza electromotriz (K=Ke=Kt) = 0.01 Nm/Amp
* resistencia de armadura (R) = 1 ohm
* inductancia de armadura (L) = 0.5 H
* entrada (V): Fuente de Tensión
* posición del eje: Θ
* Se supone rotor y eje rígidos.
La cupla (T) está relacionada con la corriente de armadura y la fem (e) con la
velocidad de rotación, según las ecuaciones:
T = Kt ⋅ i
•e = Ke ⋅ θ

siendo ambas constantes iguales (Kt=Ke=K)
En base a la ley de Newton y la ley de Kirchoff, resultan las siguientes ecuaciones
diferenciales que describen la dinámica del sistema:
••

•

J ⋅ θ+ b ⋅ θ = K ⋅ i
L⋅

•
di
+ R ⋅i = V − K ⋅θ
dt

1. Función de Transferencia
Aplicando la Transformada de Laplace y haciendo cero las condiciones iniciales,
las ecuaciones delsistema quedan expresadas en el dominio de s:
s ⋅ ( J ⋅ s + b ) ⋅ Θ(s ) = K ⋅ I (s )

( L ⋅ s + R ) ⋅ I ( s ) = V − K ⋅ s ⋅ Θ( s )
Eliminando I(s) se obtiene la transferencia entre la entrada de tensión de armadura
•

V y la velocidad de rotación Θ como salida:
•

Θ
K
=
V ( J ⋅ s + b ) ⋅ (L ⋅ s + R ) + K 2

2. Espacio de Estados
La descripción del sistema de estados en el dominiotemporal puede obtenerse
•

definiendo las variables físicas velocidad de rotación θ(t ) y corriente de armadura
i(t), como variables de estado, la tensión de armadura v(t) como entrada y la
velocidad de rotación como salida:
 b
•   −
d θ
 = J
dt  i  − K
 
 L

K  •
 
J  ⋅ θ  +  0  ⋅ v
 
R
−   i  1 L 
 
L

Requerimientos de Diseño
El motor sincompensar puede rotar solamente a 0,1rad/s con una entrada de 1 Volt
(ver simulación de la planta a lazo abierto). Uno de los requerimientos es que en
estado estacionario presente un error respecto de la velocidad deseada menor que
el 1%. Dinámicamente se espera un tiempo de establecimiento de 2 seg y un
sobrepaso menor que el 5% para evitar daños en la máquina. Es decir:
• tiempo deestablecimiento de 2 seg

• sobrepaso menor que el 5%
• Error de estado estacionario 1%

Representación en Matlab y respuesta de lazo cerrado
1. Función de Transferencia
Para representar la función de transferencia es necesario considerar los polinomios
numerador y denominador:
num = K
den = ( J ⋅ s + b ) ⋅ ( L ⋅ s + R ) + K 2

Creando un archivo .m:
J=0.01;
b=0.1;
K=0.01;
R=1;
L=0.5;num=K;
den=[(J*L) ((J*R)+(L*b)) ((b*R)+K^2)];
Para observar la respuesta al escalón del sistema a lazo abierto, basta con agregar
al archivo los siguientes comandos y ejecutarlo:
Step(num,den,0:0.1:3)
title('Step Response for the Open Loop System')
Resultando:

De la figura se observa que a lazo abierto se obtiene una salida 10 veces más chica
que la deseada (0,1 rad/s) y 3 seg de...