modelamiento problemas no lineales

Pauta PS1 IO2
Gonzalo Hernández
UNAB Advance - Ingeniería Civil Industrial
1) [1.0 Puntos] Conceptos asociados al desarrollo del laboratorio 1.
Considerando el trabajo que realizó en el Problema 2 del Laboratorio 1, explique las principales conclusiones
que obtuvo en base al análisis de la tabla con el resumen de los resultados obtenidos en los diferentes escenarios.
Solución:
El modelo deplani…cacion de la producción que se estudió permite demostrar que es posible construir un
modelo no lineal con niveles de producción homogéneos y con costos de producción similares al caso lineal,
manteniendo la utilización de las capacidades de producción e inventario.

2) [3.0 Puntos] Plani…cación de la Producción con Economías de Escala en Múltiples Plantas.
(a) Considere el problema enel que múltiples plantas, ya en operación y distribuidas geográ…camente en
una región, deben determinar la producción e inventario de manera de satisfacer la demanda total de
1 producto en la región. Los datos y parámetros de este problema son:
i = 1; :::; p : Indices de plantas
j = 1; :::; m : Indices de recursos
k = 1; :::; T : Indices de períodos
aij : Cantidad de recurso j requerido enla planta i por unidad del producto.
bij : Cantidad total de recurso j disponible en la planta i en todos los períodos
ui : Capacidad total de producción de la planta i en todos los períodos
vi : Capacidad total de inventario en la planta i en todos los períodos
dk : Demanda total de producto en el período k
qik : Costo de inventario por unidad del producto en la planta i en el período k
Ii1; Ii;T +1 : Nivel inicial y …nal de inventario del producto en la planta i
Para este caso de…niremos las siguientes variables:
xik 0 Cantidad de producto a producir en la planta i en el período k
yik 0 Cantidad de inventario de producto en la planta i en el período k
Adicionalmente, se supondrá que los costos unitarios de producción en cada planta exhiben un comportamiento de economías deescala de la siguiente forma:
f (xik ) =
donde

ik ;

ik

ik xik

+

ik log (xik )

son constantes y la función log (xik ) se de…ne como:
log (xik ) =

0
Si 0 xik
log (xik ) Si xik 1

1

Formule un modelo de optimización que determine las cantidades de producto que se deben producir y
el inventario en cada una de las plantas en cada período, de manera de minimizar los costos detotales
de producción e inventario, veri…cando las siguientes restricciones:
1

- Capacidad total de producción
- Capacidad total de inventario
- Demanda
- Recursos disponibles
- Inventario en la período inicial y …nal
Solución:
El modelo del problema es:
min

xik ;yik

p
T
XX

xik f (xik ) +

i=1 k=1

p X
X T +1

qik yik

i=1 k=1

T
X

xik

ui

8i

yikvi

8i

yi;k+1

= dk

aij xik

bij

yi1

= Ii1

k=1
T
X

k=1
p
X

yik +

i=1

p
X

p
X

xik

i=1

i=1

T
X

k=1

yi;(T +1)

8k
8i; j
8i

= Ii;(T +1)

8i

(b) Considere ahora el problema en el que múltiples plantas, ya en operación y distribuidas geográ…camente
en una región, deben determinar la producción e inventario de manera de satisfacerla demanda total
de múltiples productos en la región. Nuevamente se supondrá que los costos unitarios de producción en
cada planta exhiben un comportamiento de economías de escala.
i) Cuáles debieran ser los datos y parámetros en este caso ?
ii) Cuáles variables propone de…nir ?
iii) Cuál función objetivo propone de…nir ?
iv) Cuáles restricciones se debieran considerar en este caso ?Solución:
Los datos y parámetros en este caso son los siguientes:
i = 1; :::; p : Indices de plantas
j = 1; :::; m : Indices de recursos
k = 1; :::; T : Indices de períodos
n = 1; :::; N : Indices de productos
aijn : Cantidad de recurso j requerido en la planta i por unidad del producto n
bij : Cantidad total de recurso j disponible en la planta i en todos los períodos
uin : Capacidad total de...