ModelFunc

Universidad Nacional de Colombia Sede Medell´ın - Escuela de Matem´
aticas
C´
alculo Diferencial - Ejercicios Sobre Modelamiento de Funciones - Semestre 01-2015
1. Exprese el ´
area A de un tri´
angulo equil´
atero como funci´on
de la altura h del tri´
angulo.
2. Se va a construir una caja rectangular abierta con una
base cuadrada de longitud x y un volumen de 16000 cm3 .
Exprese el ´
area A dela caja como funci´
on de x.

11. Se debe construir una pista de atletismo con dos segmentos rectos y dos semicirculares, como se muestra en la
siguiente figura. El radio de cada segmento semicircular
es r. La longitud de la pista debe ser 1 km. Exprese el
´area limitada por la pista como funci´on de r.

3. Considere un rect´
angulo inscrito en un c´ırculo de radio
a cm. Exprese tanto el ´
area Acomo el per´ımetro P de
dicho rect´
angulo en funci´
on de la longitud de su base x.
4. Un envase cerrado de hojalata cuyo volumen es de 60 cm3
tiene la forma de un cilindro circular recto.
(a) Exprese el a´rea A de la superficie total del envase
como funci´
on del radio r de la base.
(b) Exprese el a´rea A de la superficie total del envase
como funci´
on de la altura h del cilindro.
5. Para elenvase del ejercicio anterior, si el precio del material que se usa para la base y la tapa es de $ 4 por cm2 ,
mientras que el costo del material para la parte curva es
de $ 2 por cm2 , exprese el costo total C del material del
envase como funci´
on del radio r de la base e indique el
dominio de la funci´
on resultante.
6. Un fabricante de envases de cart´
on desea construir cajas,
sin la tapasuperior, usando l´
aminas cuadradas de cart´on
de 120 cm de lado, recortando cuadrados iguales de las
cuatro esquinas y doblando los lados hacia arriba. Si x
cm es la longitud del lado del cuadrado que debe recortarse, exprese en cm3 el volumen V de la caja a fabricar,
como funci´
on de x y diga cu´
al es el dominio de la funci´on
resultante.
7. Un granjero tiene 750 pies de cerca, desea encerrar unlote
rectangular y dividirlo en cuatro corrales, colocando cercas paralelas a uno de los lados del rect´
angulo. Exprese
el ´
area total A del lote en t´erminos de la longitud x del
lado del lote paralelo a las cercas interiores. Indique el
dominio de la funci´
on.
8. Se bombea agua en un tanque c´
onico invertido, cuya altura es de 1.2 m y cuyo radio es de 40 cm. Exprese, en m3 ,
el volumen delagua dentro del tanque, como una funci´on
del radio r de la superficie de agua.
9. Exprese la distancia del punto (0, 0) a un punto (x, y)
sobre la recta y = 2x − 3, en t´erminos de x solamente.
Indique el dominio de la funci´
on.
10. En el proyecto de una helader´ıa se calcula que si se instalan sillas para ubicar entre 40 y 80 personas, la ganancia
diaria ser´
a de $ 8000 por silla, pero si lacapacidad de sillas sobrepasa las 80, entonces la ganancia diaria por cada
silla disminuye $40 por el n´
umero de sillas excedentes. Si
x es el n´
umero de sillas y G la ganancia diaria, exprese a
G como funci´
on de x indicando el dominio de la funci´on
resultante.

12. Suponga que una farola se encuentra en el extremo superior de un poste de 15 pies de altura, situado en una
calle horizontal yrecta. Si un hombre de 6 pies de estatura camina por dicha calle, alej´andose del poste, exprese la longitud de sus sombra s (en cualquier instante
t) en t´erminos de la distancia x del hombre al poste.
13. Cierta cantidad de agua fluye a una tasa de 2 m3 /min
hacia el interior de un dep´osito cuya forma es la de un
cono invertido de 16 m de altura y 4 m de radio. Exprese
la profundidad h del agua alos t minutos de iniciado el
llenado.
14. Una ventana rectangular est´a rematada por un
semic´ırculo. El per´ımetro de la ventana es 200 cm. Exprese el ´area A de la ventana como funci´on del radio x del
semic´ırculo e indique el dominio de la funci´
on resultante.
15. Un avi´on de una compa˜
n´ıa tiene cupo para 100 pasajeros.
La compa˜
n´ıa cobra, para una excursi´on, $ 800,000 a cada
pasejero,...