Modelos De Opt Avanzados

ASIGNATURA | : MODELOS DE OPTIMIZACIÓN AVANZADOS |
CARRERA | : INGENIERÍA CIVIL INDUSTRIAL |
FECHA | : 29 de Septiembre de 2012 |
Nombre | |
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CONTROL Nº 1

PREGUNTA 1 [100%]

Cuando me encontraba de vacaciones por Estados Unidos, visite el estado de Wyoming. En Wyoming aproveche de conocer el Parque Nacional de Yellowstone,hogar del conocido Oso Yogi.
Mientras disfrutaba de la vista del lugar, observe (para mi asombro) como un Oso se alimentaba de las cestas de alimentos de los turistas que se encontraban en la zona de picnic. En dicho lugar, sólo habían cuatro mesas para comer, de donde el Oso se “sentaba” a comer.
Después de mirar por algún tiempo el comportamiento del Oso, pude comprobar que la probabilidad deque el Oso fuera de una mesa a otra, era inversamente proporcional a la distancia que había entre las mesas, es decir, era más probable que fuera a una mesa que está más cerca que una que está más lejos.
Al consultar al guardabosque del lugar, me dio la siguiente información sobre la distancia entre las mesas:

* Entre las mesas 1 y 2, hay 4 [mts.]
* Entre las mesas 1 y 3, hay 6 [mts.]* Entre las mesas 1 y 4, hay 5 [mts.]
* Entre las mesas 2 y 3, hay 2,9 [mts.]
* Entre las mesas 2 y 4, hay 1,7 [mts.]
* Entre las mesas 3 y 4, hay 2,5 [mts.]

Aprovechando el conocimiento de los alumnos de la UTA, me gustaría saber:

a.- ¿Cuál es la matriz de transición de un paso?
b.- Suponiendo que el Oso estaba comiendo en la mesa 3 ¿Cuál es la probabilidad que este en la mesa1 después de 3 transiciones?
c.- En el largo plazo, ¿cual es la probabilidad de que este el Oso se encuentre en la mesa 4?

Solución

Datos:

* La probabilidad de ir de una mesa a otra, era inversamente proporcional a la distancia que había entre las mesas
* La distancia entre las mesas es:
* Entre las mesas 1 y 2, hay 4 [mts.]
* Entre las mesas 1 y 3, hay 6 [mts.]* Entre las mesas 1 y 4, hay 5 [mts.]
* Entre las mesas 2 y 3, hay 2,9 [mts.]
* Entre las mesas 2 y 4, hay 1,7 [mts.]
* Entre las mesas 3 y 4, hay 2,5 [mts.]

Sea Ck ϵR, la constante de proporción, con k ϵ [1,4]
Sea pij la probabilidad es estar en la mesa j, dado que vengo de la mesa i, con i,j ϵ [1,4]
Entonces,

p11+p12+p13+p14=1
0*C1+14*C1+16*C1+15*C1=1C1=114+16+15=1,621≈1,6

Análogamente,

p21+p22+p23+p24=1
14*C2+0*C2+12,9*C2+11,7*C2=1
C2=114+12,9+11,7=0,845263609≈0,85

p31+p32+p33+p34=1
16*C3+12,9*C3+0*C3+12,5*C3=1
C3=116+12,9+12,5=1,097099622≈1,1

p41+p42+p43+p44=1
15*C4+11,7*C4+12,5*C4+0*C4=1
C4=115+11,7+12,5=0,8415≈0,8

Por lo tanto,

p11=0
p12=1,6*14=0,4
p13=1,6*16=0,26≈0,28 (por diferencia, para que la suma de lasprobabilidades sea 1)
p14=1,6*15=0,32
p21=0,85*14≈0,21
p22=0
p23=0,85*12,9≈0,29
p24=0,85*11,7≈0,5
p31=1,1*16≈0,18
p32=1,1*12,9≈0,38
p33=0
p34=1,1*12,5≈0,44
p41=0,8*15=0,16
p42=0,8*11,7≈0,47→p42=0,52 (por diferencia, para que la suma de las probabilidades sea 1)
p43=0,8*12,5=0,32
p44=0

a)
| | 1 | 2 | 3 | 4 |
P= | 1 |  0 | 0,4  | 0,28 | 0,32  |
| 2 |  0,21 | 0 | 0,29 | 0,5  |
| 3 | 0,18 | 0,38 | 0 | 0,44  |
| 4 | 0,16  | 0,52  |  0,32 | 0  |

b)

Vector de probabilidades iniciales

| 1 | 2 | 3 | 4 |
a0= | (0 | 0 | 1 | 0) |

P2 =
| 1 | 2 | 3 | 4 |
1 |  0 | 0,4  | 0,28 | X
X
0,32  |
2 |  0,21 | 0 | 0,29 | 0,5  |
3 |  0,18 | 0,38 | 0 | 0,44  |
4 | 0,16  | 0,52  |  0,32 | 0  |
| 1 | 2 | 3 | 4 |
1 |  0 | 0,4  | 0,28 | 0,32  |
2 |  0,21 | 0 |0,29 | 0,5  |
3 |  0,18 | 0,38 | 0 | 0,44  |
4 | 0,16  | 0,52  |  0,32 | 0  |

| | 1 | 2 | 3 | 4 |
P2= | 1 | 0,19 | 0,27 | 0,22 | 0,32 |
| 2 | 0,13 | 0,45 | 0,22 | 0,19 |
| 3 | 0,15 | 0,30 | 0,30 | 0,25 |
| 4 | 0,17 | 0,19 | 0,20 | 0,45 |

| 1 | 2 | 3 | 4 |
1 | 0,19 | 0,27 | 0,22 | 0,32 |
2 | 0,13 | 0,45 | 0,22 | 0,19 |
3 | 0,15 | 0,30 | 0,30 | 0,25 |
4 | 0,17 |...