Modelos probabilisticos

Modelos Probabilísticos comunes
M. en A. Víctor D. Pinilla Morán
Facultad de Ingeniería, UNAM
Resumen
Introducción. Ensayo de Bernoulli. Distribución de Bernoulli,
determinación de su media y de su varianza.
Proceso de Bernoulli. Distribución binomial, determinación de
su media y su varianza. Distribución geométrica,
determinación de su media y su varianza. Distribución
binomialnegativa, determinación de su media y su varianza.
Distribución hipergeométrica, determinación de su media y su
varianza.
Proceso de Poisson. Distribución de Poisson, determinación de
su media y su varianza. Aproximación entre las distribuciones
binomial y de Poisson.

4.1 Ensayo de Bernoulli. Distribución de
Bernoulli, determinación de su media y
variancia.
Tal y como ocurre en los modelosdeterministas, en los cuales ciertas
relaciones funcionales desempeñan un
papel importante (Tales como lineales,
cuadráticas, exponenciales, trigonométricas,
etc.), al elaborar modelos aleatorios para
fenómenos observables, también se
encuentra que ciertas distribuciones de
probabilidades aparecen más a menudo que
otras. Una razón de esto es que, como en el
caso determinista, algunos modelosmatemáticos relativamente simples parecen
ser más capaces de describir un gran
número de fenómenos.
Ensayo y distribución de Bernoulli. Si en
un experimento sólo aparecen dos posibles
resultados: “éxito y fracaso”, ha dicho
experimento
se
le
conoce
como
Probabilidad y Estadística
Noviembre 2009

experimento de Bernoulli. El espacio
muestral de un experimento de Bernoulli
tienesolo dos puntos. Si la variable
aleatoria X representa el resultado del
experimento:
S={éxito, fracaso}={1,0}
A la probabilidad de éxito, es decir, P(X=1)
se le representa con p, es decir, P(X=1)=p
donde 0 ≤ p ≤ 1 .
Por otra parte, a la probabilidad del fracaso
se le representa con q, es decir, P(X=0)=q,
donde p+q=1.

x
0
1

P(X)
q
p

M.A. Víctor Damián Pinilla Morán.
59Proceso de Bernoulli. Si el experimento de
Bernoulli se lleva a cabo varias veces y las
pruebas son independientes entre sí, se
conforma un experimento de Bernoulli.

4.2 Ensayo binomial. Distribución
binomial, determinación de su media y
variancia.
Distribución
geométrica,
determinación de su media y variancia.
Distribución de Pascal, su media y
variancia.
Distribución Binomial. Unproceso de
Bernoulli se compone de una secuencia de
ocurrencia de éxitos y fracasos, todos un
número “n” de veces.

ensayos independientes, y p la probabilidad
de éxito de cualquiera de éstos. Se dice
entonces que X tiene una distribución
binomial con función de probabilidad:

⎧⎛ n ⎞ k
n−k
⎪⎜ ⎟ p (1 − p )
P ( X = k ) = ⎨⎜⎝ k ⎟⎠
⎪0 otro valor
⎩
donde

para n = 0,1,2,..., n

0 ≤ p ≤1Ejemplo. Se tira una moneda 3 veces
consecutivamente.
Determinar
su
distribución de probabilidad.
Ai={lanzar una moneda}

El interés radica en determinar la
probabilidad de obtener
k-éxitos
durante los n ensayos; esto requiere de dos
suposiciones:
1) La probabilidad de éxito p
permanece constante para cada
ensayo.
2) Los
n
ensayos
son
independientes entre sí.
Para obtener lafunción de probabilidad de
la distribución binomial, primero se
determina la probabilidad de tener, en hn
ensayos, k-éxitos consecutivos seguidos de
n-x fracasos consecutivos. Ya que se
supone que los n ensayos son
independientes:
P(A1,A2,A3,...,An)=P(A1)P(A2)P(A3)...P(An)
P.P.P...P.

(1-p)(1-p)(1-p)=pk(1-p)n-k
K términos n-k términos

La probabilidad de obtener k éxitos y n-kfracasos en cualquier otro orden es la
misma, puesto que los factores p y (1-p) se
reordenan de acuerdo con el orden
particular. Por lo tanto, la anterior
probabilidad es el producto pk(1-p)n-k por el
número de combinaciones distintas, esto
último tomando k objetos a la vez de n en
total.

Considerando al evento Ai como un éxito,
con probabilidad p, y al evento Ai como un
fracaso, con...