Modelos Sistemas Fisicos

Tipos de Modelos
• Los modelos matemáticos dinámicos se clasifican mas específicamente en: • • • • • • Modelos lineales o no lineales Modelos variantes o invariantes en el tiempo Modelos determinístico o estocásticos Modelos continuos o discretos Modelos concentrados o distribuidos Sistemas causales o no causales
Prof. Anna Patete Universidad de Los Andes 2

Tipos de Modelos
• Modeloslineales o no lineales: los modelos lineales y no lineales se caracterizan por su dependencia mutua de las variables.

• Los modelos matemáticos de sistemas lineales cumplen con el Principio de Superposición, es decir que la respuesta obtenida por la aplicación simultánea de dos entradas diferentes es igual a la suma de las dos respuestas obtenidas individualmente.
u1(t) Sistema Lineal

y1(t)u2(t)

Sistema Lineal

y2(t)

u1(t) Sistema Lineal u2(t)


y(t) = y1(t) + y2(t)



Tipos de Modelos
• Mas general, si se tiene una constante que multiplica a la entrada del sistema lineal, entonces se tiene que:
α u1(t) β u2(t) β y2(t)

Sistema Lineal

α y1(t)

Sistema Lineal

α u1(t)

Sistema Lineal
β u2(t)

y(t) = α y1(t) + β y2(t)

 R  R

• Los modelos desistemas no lineales no cumplen con el Principio de Superposición.


Tipos de Modelos
• Modelo no lineal

x(t )  

a 1 K x(t )  u (t ) A A

y(t )  3 y 2 (t )  2 y(t )  u(t )
y(t )  3 y(t )  2 y(t )  u(t ) y(t )
y (t )  3 y (t )  2 Sin  y (t )   u (t )

• Modelo lineal

x(t )  a x(t )  bu(t )
y(t )  3 y(t )  2 y(t )  u(t )


Tipos de Modelos
• Modelosvariantes o invariantes en el tiempo: se caracterizan por la naturaleza de sus parámetros respecto al tiempo.

• Un modelo de sistema es invariante en el tiempo cuando los cambios en la salida no dependen del momento en el cual se aplica la entrada.
y(t )  3 y(t )  2 y(t )  u(t )

• Por el contrario un modelo de sistema es variante en el tiempo cuando la salida cambia a medida que se introduceuna entrada del mismo tipo en tiempo diferente.

y(t )  a(t ) y(t )  bu(t )
• a es un parámetro del sistema.

Tipos de Modelos
• Por lo tanto, un sistema invariante en el tiempo posee parámetros constantes respecto al tiempo. • Matemáticamente hablando un sistema invariante en el tiempo, para un estado inicial x0 (t )  x(t0 ), con una entrada u1 ( ), t0    t , tiene una salida y1 (t ),y además si se aplica una entrada u2 (  T ), con el mismo estado inicial pero en t0  T entonces tiene la misma salida y2 (t  T )  y1 (t ).


Tipos de Modelos
• Variantes en el tiempo
y(t )  a1 (t ) y(t )  a2 (t ) y(t )  u(t )

y(t )  t y(t )  2 y(t )  u(t )
y(t )  2 y(t )  t 2 y(t )  u (t )

• Invariantes en el tiempo
y(t )  a1 y(t )  a2 y(t )  u(t )

y (t )  a 1 K y (t )  u (t ) A A

Tipos de Modelos
• Modelos determinístico o estocásticos: se caracterizan por los modelos que dependen de la aleatoriedad de las variables.

• En los modelos determinísticos la interacción con las variables no es probabilística y el valor de la salida depende de los valores pasados de las variables.

y(t )  a y(t )  bu(t )
• Mientras que los modelosestocásticos involucran relaciones probabilísticas.

y(t )  a y(t )  (t )
En este caso  (t ) es una señal de ruido blanco proveniente de la medición.


Tipos de Modelos
• Determinísticos
y(t )  a1 y(t )  a2 y(t )  u(t )
y(t )  3 y(t )  2 y(t )  u(t )

• Estocásticos
y(t )  a1 y(t )  a2 y(t )  u(t )   (t )

 (t ) es una variable estocástica
y(t )  3 y(t )  2 y(t )  u(t )  (t ),

 (t )  N (0,  2 )

Tipos de Modelos
• Modelos continuos o discretos: los modelos continuos son aquellos que están definidos para todo t  R, mientras que los modelos discretos están definidos solamente para instantes de tiempo k  Z .

• Modelos continuos

x(t )   x(t )   x(t )   u(t ),

t  R,

• Modelos discretos

x(k )  a x(k 1)  b x(k  2)  cu(k 1),
o...