MODULO INTEGRAL APLICACIONES PARA EL FINAL 1

CORPORACION UNIVERSITARIA DE LA COSTA. CUC
GUIA DE CALCULO INTEGRAL

PROFESOR: Rita Dederlé C.
TEMA: Aplicaciones de cálculo Integral

Área de una región entre dos curvas


Sea f(x) y g(x) funciones continuas en [a,b], con f(x)>g(x). El área entre las funciones f(x) ٨ g(x) y limitada por las líneas verticales x=a y x=b viene dado por:


Si











Ejemplo1:
Hallar el área de la regiónacotada por las graficas…


a Integrando en X
b Integrando en Y

Solución:

Puntos de corte
Para hallar los puntos de corte igualamos las funciones (y = y) y luego despejamos de tal forma que igualen a cero y obtener los valores, primero, de x.




Ya teniendo los valores de x, los evaluamos en una de las funciones dadas y así obtener los puntos de corte:

Si
Si

Tenemos los puntos de corte,los cuales son puntos donde se tocan las graficas de las dos funciones.


a)








Ejemplo2:
Hallar el área de la región acotada por la gráfica…

Solución
Puntos de corte




Si
Si
Si








Ejemplo3:
Hallar el área acotada por…









Puntos de corte




Si
Si







Ejemplo4:
Hallar el área acotada por…


Puntos decorte





Si
Si

Punto de corte entre la recta


Punto de corte entre






Y si amplificamos la imagen del área a calcular…












Cálculo de volúmenes

Si una región de un plano se gira alrededor de un eje de ese mismo plano, se obtiene una región tridimensional llamada sólido de revolución generado por la región plana alrededor de lo que se conoce como eje de revolución. Este tipo desólidos suele aparecer frecuentemente en ingeniería y en procesos de producción. Son ejemplos de sólidos de revolución: ejes, embudos, pilares, botellas y émbolos.
Existen distintas fórmulas para el volumen de revolución, según se tome un eje de giro paralelo al eje X o al eje Y. Incluso a veces, es posible hallar el volumen de cuerpos que no son de revolución.
METODO DE DISCO
VOLUMEN SÓLIDOS DEREVOLUCION SIN AGUJERO




















Ejemplo1:







como nos podemos dar cuenta, por medio de la integral definida obtenemos la fórmula de volumen de una esfera



Ejemplo2:
Hallar el volumen del sólido que se genera al hacer girar alrededor del eje x en [0,4] la curva






Si
Si











El Método de las arandelas


El método de los discos puede extenderse fácilmente para incluirsólidos de revolución con un agujero, reemplazando el disco representativo por una arandela representativa. La arandela se obtiene girando un rectángulo alrededor de un eje. Si R y r son los radios externos e internos de la arandela, y es la anchura de la arandela, entonces el volumen viene dado por:

Volumen de la arandela =

Entonces, generalizando de forma análoga a como se hizo en el métodode los discos, si tenemos dos Funciones continuas f(x) y g(x) definidas en un intervalo cerrado [a,b], con , y las rectas
x=a y x=b, el volumen engendrado se calcula restando los sólidos de revolución engendrados por los recintos de ambas funciones, es decir:

Ó lo que es lo mismo

VOLUMEN SÓLIDOS DE REVOLUCION CON AGUJERO




Donde
Radio Externo
Radio Interno


Donde
Radio Externo
Radio InternoSi las funciones se cortan, habrá que calcular los volúmenes de los sólidos engendrados en cada uno de los subintervalos donde se puede aplicar el método anterior.


Ejemplo1:
Sea R la región limitada por las gráficas de
Calcule el volumen del sólido formado cuando R gira alrededor de:
a Eje y
b Eje x
c Recta y=2



Si

Solución:

a) Eje y


















b)Eje x



Radio Ext.
Radio Int.c) recta y = 2






Radio Ext.
Radio Int.



EJERCICIOS PARA EL FINAL;
GranVille: pag 318 : # del 6 hasta el #14
Pag 327 : # 21,24 ,26,27 y # 29( de la a hasta l h)
LARSON:
PAG 452 : # 1 hasta # 6
Pag 463: # 1 hasta #8
Pag 472 : #1 hasta # 4



Longitud de un arco



Definición: Si la función y= f(x) representa una curva suave en el intervalo [a,b], la longitud de arco de f entre...