Modus Ponens

Modus Ponens

Notación formal
La regla del modus ponens puede escribirse en subsiguiente notación:

donde ⊢ es un símbolo metalógico que significa que Q es una consecuencia sintáctica de P → Q y P en algún sistema lógico;
o como la afirmación de una tautología verdad-funcional o teorema de la lógica proposicional:

donde P, y Q son proposiciones expresadas en algún sistema formal.Explicación[editar]
La forma de argumento tiene dos premisas (hipótesis). La primera premisa es la "si-entonces" o reclamación de condicional, a saber: que P implica Q. La segunda premisa es que P, el antecedente de la alegación condicional, es cierto. A partir de estas dos premisas se puede concluir lógicamente que Q, el consecuente o apódosis de la reclamación de condicional, también debe ser verdad.En inteligencia artificial, el modus ponens frecuentemente se los denomina encadenamiento hacia adelante.
Un ejemplo de un argumento que se ajuste a la forma modus ponens:
Si hoy es martes, entonces Juan se irá a trabajar.
Hoy es martes.
Por lo tanto, Juan irá a trabajar.
Este argumento es válido, pero esto no tiene nada que ver con si alguna de las declaraciones en el argumento es verdadera; para que modusponens sea un argumento sólido, las premisas deberán ser verdaderas para cualquier instancia verdadera de la conclusión. Un argumento puede ser válido, pero, no obstante, poco sólido si una o más premisas son falsas; si un argumento es válido y todas las premisas son verdaderas, entonces el argumento es sólido. El argumento no solo es sólido, los martes (cuando Juan va a trabajar), pero es válidoen todos los días de la semana. Un argumento proposicional usando modus ponens dice que es deductivo.
En cálculo secuencial de conclusión única, el modus ponens es la regla de corte. El teorema de eliminación del corte para un cálculo dice que cada prueba que implica Corte puede ser transformada (por lo general, por un método constructivo) en una prueba sin corte, y de ahí que el cortesea admisible.
La correspondencia de Curry-Howard entre pruebas y programas relaciona el modus ponens a la función aplicación: si f es una función del tipo P → Q y x es de tipo P, entoncesf x es de tipo Q.
Relación con el Modus Tollens
Cualquier regla Modus ponens puede probarse mediante una regla Modus Tollens y de transposición. La prueba es el siguiente.
1. P → Q
2. P /∴ Q
3.~Q → ~P 1 Transposición
4.~~ P2 Doble Negación
5.~~ Q 3,4 Modus Tollens
6. 5 Doble negación
Justificación mediante tabla de verdad[editar]
La validez del modus ponens en la lógica clásica de dos valores se puede demostrar claramente demostrada utilizando una tabla de verdad.
p
q
p → q
V
V
V
V
F
F
F
V
V
F
F
V

En los casos de modus ponens se asume como premisa que p → q es verdadera y p es verdadera. Solo una línea de la tablade verdad —la primera— satisface estas dos condiciones (p y p → q). En esta línea, q también es verdad. Por lo tanto, cada vez que p → q sea verdadero y p es verdadero, q debe también ser verdadero.
Modus Tollendo
En lógica proposicional, el 'modus tollens' (o modus tollendo tollens1 2 3 4 o también negación del consecuente)5 (en latín significa "el camino que niega al negar")6 es unaforma deargumento válida y una regla de inferencia.
Los primeros en declarar explícitamente la forma de argumento modus tollens fueron los estoicos.7
La regla de inferencia modus tollens, también conocida como la ley de la contraposición, valida la forma de inferencia  implica  y la contradictoria de , a la contradictoria de .
La regla modus tollens se puede afirmar formalmente como:

donde  significa "Pimplica Q",  significa "no es el caso de que Q" (o en resumen "no Q"). Entonces, cada vez "" y "" cada una parece por sí mismas como una línea de una prueba, "" se puede colocar válidamente en una línea posterior. La historia de la regla modus tollens se remonta a la antigüedad.8
El modus tollens está estrechamente relacionado con el modus ponens. Hay dos formas similares, pero no válidas, de...