Movimiento Amortiguado Libre

7 de Enero de 2015

Movimiento Amortiguado Libre (Movimiento
´
Armonico
Amortiguado)
Anthony Villa1 *
Paolo Erazo1 **
Abstract
Se establece el uso de ecuaciones diferenciales para resolver problemas relacionados con el Movimiento
´
´ de dichos ejercicios.
Amortiguado Libre; aplicando metodos
aprendidos anteriormente que facilitan la resolucion
Keywords
´ movimiento, masa, tiempo
Amortiguacion,
1Ecuaciones Diferenciales Ordinarias, NRC: 2081, Departamento de Ciencias Exactas, Escuela Politecnica
´
´
del Ejercito,
Sangolqu´ı, Ecuador
* anthony villa o95@hotmail.com ** paoloerazo@yahoo.com

´
1. Introduccon
En la lecci´on anterior, ignoramos el factor importante de la resistencia o de amortiguaci´on. En esta lecci´on vamos a discutir el
movimiento m´as realista de una part´ıcula que est´asujeto a la resistencia o la fuerza de amortiguaci´on. Supondremos, para
fines ilustrativos, que la fuerza de resistencia es proporcional a la primera potencia de la velocidad. Con frecuencia no lo ser´a.
En tales casos, los m´etodos m´as complicados, m´as all´a del alcance de este texto, ser´an necesarios para resolver la ecuaci´on
diferencial resultante.
Planteamos los siguientes l´ımites, queposteriormente ser´an utilizados solo para relacionar al tiempo con
e−sx
= 0,
si
x→∞ s
−sx
e
lim 2 = 0,
si
x→∞ s
xe−sx
lim
= 0,
si
x→∞ s
lim xn e−sx = 0,
si
s > 0,
lim

x→∞

s>0

(1)

s>0

(2)

s>0

(3)

n∈R

(4)

´
1.1 Definicion
Una part´ıcula se dijo para ejecutar el movimiento amortiguado libre, m´as com´unmente llamado movimiento arm´onico
amortiguado, si esta ecuaci´on de movimiento satisfaceuna ecuaci´on diferencial de la forma:
m

d2y
dy
+ 2mr + mω02 y = 0,
2
dt
dt

d2y
dy
+ 2r + ω02 y = 0
2
dt
dt

m=0

(5)

donde el coeficiente de 2mr > 0 se denomina el coeficiente de resistencia del sistema. Al igual que antes ω0 es la (no
amortiguada) frecuencia natural del sistema y m es la masa de la part´ıcula. La ecuaci´on caracter´ıstica de (5) es x2 + 2rx + ω02 = 0,
cuyas ra´ıces son
x = −r±

r2 − ω02

(6)

La soluci´on de (5) por lo tanto depender´a del car´acter de las ra´ıces de (6), es decir, si son reales, imaginarias, o m´ultiples.
Vamos a considerar cada caso por separado.

´
Movimiento Amortiguado Libre (Movimiento Armonico
Amortiguado) — 2/7

1.2 r2 > ω02
Si r2 > ω02 , las ra´ıces en (6) son reales y desiguales. Por lo tanto la soluci´on de (5) es
√2

−r+

y = C1 e

r−ω02 t

√2

−r−

+C2 e

r −ω02 t

(7)

Dado que ambos exponentes en (7) son cantidades negativas (verificarlo) podemos escribir (7) como
At

Bt

y = C1 e +C2 e ,

A < 0,

B<0

(8)

Si C1 = 0, C2 = 0 y C1 , C2 tienen el mismo signo, entonces porque ex > 0 para todo z, no existe un valor de t para los cuales
y = 0. Por lo tanto, en este caso, el gr´afico de (8) no puede cruzar el eje t. Sin embargo, si C1= 0, C2 = 0 y C1 , C2 tienen
signos opuestos, el ajuste de y = 0 en (8) y resolviendo por t determinar´a los t intercepciones de su gr´afica. Por lo tanto el
establecimiento de y = 0 en (8), obtenemos
C1
C2
C1
(A − B)t = ln −
C2
1
C1
t=
ln −
A−B
C2
e

(A−B)t

=−

(9)
(10)

De (10), se deduce que no puede haber s´olo un valor de t de los cuales y = 0. As´ı, hemos demostrado que la curva querepresenta el movimiento dado por (8) puede cruzar la t eje una vez como m´aximo. Adem´as, mediante (2), y → 0 como t → ∞.
(Recuerde que A y B en (8) son negativos). La diferenciaci´on de (8) da
At
Bt
dy
= C1 Ae +C2 Be ,
dt

A < 0,

B<0

(11)

Dado que esta ecuaci´on tiene la misma para que (8), que, tambi´en, puede tener, como m´aximo, s´olo un valor de t de los cuales
dy
aximo un u´ nico m´aximo opunto m´ınimo. El movimiento
dt = 0. Por lo tanto la curva determinada por (8) puede tener como m´
es, por tanto, no oscilatorio y muere con el tiempo. En Fig.29.17 1 hemos elaborado gr´aficos de unos pocos movimientos
posibles. En este caso, donde r2 > ω02 , la fuerza de resistencia o de amortiguaci´on representado por r impone sobre la fuerza de

recuperaci´on representado por ω0 y por lo...