movimiento armonico

MODELADO CON ECUACIONES
DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR
5.1

Ecuaciones lineales: problemas de valor inicial
5.1.1 Sistemas de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado
5.1.2 Sistemas de resorte y masa: movimiento amortiguado libre
5.1.3 Sistemas de resorte y masa: movimiento forzado
5.1.4 Sistemas an&logos
5.2 Ecuaciones lineales: problemas de valores en la Contera
5.3 Ecuacionesno lineales
Ejercicios de repaso

Hemos visto que una sola ecuación diferencial puede servir como modelo matemático
de distintos fenómenos. Por este motivo, en la sección 5.1 examinaremos con mayor detalle una aplicación, el movimiento de una masa unida a un resorte. Aparte de la
terminología y las interpretaciones físicas de los cuatro términos de la ecuación lineal
ay ” + by’ + cy = g(t),veremos que los procedimientos matemáticos para manejar, por
ejemplo, un circuito eléctrico en serie son idénticos a los que se emplean en un sistema
vibratorio de resorte y masa. Las formas de esta ecuación diferencial de segundo orden
surgen en el análisis de problemas en muchas y diversas áreas de la ciencia y la
ingeniería. En la sección 5.1 sólo estudiaremos problemas devalor inicial. Enla sección
5.2 examinaremos aplicaciones descritas por problemas de valores en la frontera,
además de algunos de los problemas que nos conducen a los conceptos de valores
propios y funciones propias. La sección 5.3 se inicia con una descripción de las
diferencias entre los resortes lineales y no lineales, y luego se demuestra cómo el péndulo
simple y un alambre suspendido nos llevan amodelos no lineales.

195

1 96

CAPíTULO

5 MODELADO CON ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

ECUACIONES LINEALES: PROBLEMAS DE VALOR INICIAL
n

Sistema lineal dinámico H Ley de Hooke n Segunda ley de Newton del movimiento
w Sistema de resorte y masa w Movimiento libre no amortiguado W Movimiento armónico simple
n Ecuación del movimiento w Amplitud n Ángulo de f2ue n Resortedesgastable
w Movimiento libre amortiguado w Movimiento forzado w Términos transitorios y de estado estable
W Resonancia pura W Circuitos en serie

En esta sección revisaremos varios sistemas dinhicos lineales (pág. 127) en donde cada
modelo matemático es una ecuación diferencial de segundo orden con coeficientes constantes
d*y

dy

‘2% + al - + soy = g(t).
dt

No olvidemos que la funcióng es la entrada (función de entrada o función forzada) del
sistema. La salida o respuesta del sistema es una solución de la ecuación diferencial en
un intervalo que contiene a co que satisface las condiciones iniciales prescritas y(h) = y o,
y’(to)

5.1.1

=y1.

Sistemas de resorte y masa: movimiento libre no amortiguado

Ley de Hooke Supongamos que, como en la figura 5.l(b), una masam1 está unida a un
resorte flexible colgado de un soporte rígido. Cuando se reemplaza rn1 con una masa distinta
m2, el estiramiento, elongación o alargamiento del resorte cambiará.

soporte rfgido

resorte
sin estirar
8 Ib

64

en reposo
0.4

Cc)

FIGURA 5.1

Según la ley de Hooke, el resorte mismo ejerce una fuerza de restitución, F, opuesta a la
dirección del alargamiento yproporcional a la cantidad de alargamiento s . En concreto, F =
Rs, donde k es una constante de proporcionalidad llamada constante del resorte. Aunque las
masas con distintos pesos estiran un resorte en cantidades distintas, 6ste está caracterizado

S ección

5.1

Ecuaciones lineoles: problemas de valor inicial

197

esencialmente por su numero k; por ejemplo, si una masa que pesa 10libras estira i pie un
resorte, entonces 10 = k(i) implica que k = 20 lb/ft. Entonces, necesariamente, una masa cuyo
peso sea de 8 libras estirará el resorte f de pie.

Segunda ley de Newton

Después de unir una masa M a un resorte, ésta lo estira una
longitud s y llega a una posición de equilibrio, en la que su peso, W , está equilibrado por la
fuerza de restauración AZS. Recuérdese que...