movimiento de cuerpos rigidos

UNIDAD IV
CINEMATICA DEL SOLIDO RIGIDO

INTRODUCCIÓN:

Cinco son los movimientos posibles del sólido rígido que se estudian:

1. Traslación A - rectilínea
B – curvilínea.
2. Rotación alrededor de un eje fijo.
3. Movimiento plano general.
4. Movimiento alrededor de un punto fijo.
5. Movimiento General.

Estudiaremos tres de ellos:


1.Traslación.

Un cuerpo sólido rígido realiza un movimiento de traslación cuando, considerando un segmento entre dos puntos A y B del cuerpo, este se mantiene siempre paralelo a sí mismo, durante todo el movimiento. Considerando el cuerpo rígido como un conjunto continuo de puntos materiales, cada punto material describirá, en el movimiento, una trayectoria determinada y a todos los demás puntosmateriales describirán trayectorias equidistantes entre sí.
Si la traslación es rectilínea, las trayectorias son rectas y paralelas entre sí (equidistantes), y si la traslación es curvilínea, las trayectorias de los puntos materiales son curvas planas o alabeadas equidistantes entre sí.

Ejemplos:

Traslación rectilínea.













Traslación curvilínea.Figura 3: vector posición en una traslación







En un movimiento de traslación rectilínea o curvilínea según se muestra en la figura 3, el vector posición del punto B es:
(1)
A lo llamaremos “vector de B con respecto a A” y es constante.
Derivando la (1) tenemos:(2)

Es decir en un instante dado la velocidad de B es igual, a la velocidad de A y a la de cualquier otro punto material del sólido rígido (ya sea un movimiento de traslación rectilínea o curvilínea).

Si derivamos la (2) con respecto al tiempo:
(3)

Es decir que la aceleración del punto B es la misma que la del punto A y a la de cualquier otro puntomaterial del sólido rígido.



















2. Movimiento de rotación de un sólido rígido alrededor de un eje fijo (que lo atraviesa).

Considerando un sistema de coordenadas rectangulares donde el eje Z coincide con el eje e de rotación del sólido rígido.
Considerando la base ortogonal O()











Siendo: y
;
entonces

Esta expresión esel módulo del producto vectorial entre él vector velocidad angular de rotación y el radio vector posición del punto P.

Entonces de la relación entre velocidades:

La velocidad angular es la misma para todos los puntos materiales del cuerpo rígido y él vector posición depende de la posición del punto material con respecto al punto O. Todos los puntos materiales del cuerpo giran describiendocircunferencias alrededor del eje de rotación, en planos paralelos y en un mismo plano son circunferencias concéntricas. Cada punto tiene su propia velocidad lineal.
Además: (5)
Por lo tanto la velocidad angular es un vector que esta sobre el eje Z, que es el eje de rotación.
Derivando la ecuación (5) con respecto al tiempo tenemos:


pero:

entonces:
(6)resolviendo:
Recordando que en una circunferencia se cumple:
siendo h = r . sen 
(7)

Haciendo h = r de cada circunferencia, se puede comparar las expresiones (6) y (7).
Se observa que:
es la aceleración tangencial y es la aceleración normal o centrípeta de cada punto del sólido rígido.
Por otro lado:

Es decir que él vector aceleraciónangular está también sobre el eje de rotación.
Ecuaciones que definen el movimiento de rotación de un sólido rígido alrededor de un eje fijo, pueden referirse directamente a la descripción del punto del cuerpo.

Sabemos que para un movimiento circular:
(8)
Siendo m la velocidad angular media y  la instantánea:
(9)
Siendo am la aceleración angular media y a la...