Movimiento Oscilatorio Amortiguado

Fisica I (B y G) Facultad de ciencias exactas y naturales U.B.A |
Informe Nº5 |
Movimiento oscilatorio y ajuste no-lineal |
|
| 5/18/2012 |

|

Movimiento oscilatorio
y ajuste no-lineal

Federicci Fernando, Soto Sergio A.
Resumen
Dentro de los diversos movimientos oscilatorios que existen, el de un resortelineal suspendido verticalmente es uno de los más comunes. En este trabajo nos proponemos caracterizar dicho movimiento y conocer cuál es la relación exitente entre la elongación de un resorte producida por un cierto peso y la fuerza elástica que actúa sobre él. Además, durante el movimiento oscilatorio, analizamos la dependencia de la frecuencia con respecto a la variación en la elongación quepresenta el resorte, y las características que permanecen constantes en su comportamiento.

Introducción
Se conoce como resorte a un operador elástico capaz de almacenar energía y desprenderse de ella sin sufrir deformación permanente cuando cesan las fuerzas o la tensión a las que es sometido. Son fabricados con materiales muy diversos, que presentan propiedades elásticas y con una grandiversidad de formas y dimensiones, pero todos tienen la propiedad de producir movimientos oscilatorios. Los movimientos oscilatorios se caracterizan por ser sistemas físicos en los cuales el movimiento ocurre de forma periódica con respecto a cierta posición de equilibrio. El modelo más sencillo para describir un movimiento oscilatorio corresponde a un cuerpo de masa m sobre el cual actúa una fuerzaproporcional al desplazamiento, esto es
F= -kx
Donde k se denomina constante elástica del resorte. El objeto realiza un movimiento armónico simple oscilando indefinidamente y en tales circunstancias la ecuación diferencial que describe el movimiento es
m x=-Fel+ m g (1)
Sabemos que Fel=-k x-l0 , entonces reemplazo en (1)
m x=-kx-l0+ m g (2)
Notemos que la solución homogénea de dicha ecuación (es decir, la solución para el caso estático donde x=0) es de la siguiente forma:
0=-k x-l0+ m g
x = l0+m gk
(3)
k=m gx-l0
(4)
Podemos ver entonces a partir de la ecuación 3 que se puede conocer el valor de la constante kconociendo el estiramiento del resorte y el peso encada caso.
La solución general para la ecuación diferencial (2) se resuelve con la siguiente ecuación
xt= A.cos (ω.t+ φ)
En este caso ω0 es la frecuencia de oscilación del movimiento. Esta expresión tiene dos constantes arbitrarias a determinar: la amplitud A, que permanece constante durante el movimiento, y la fase inicial φ. En nuestro caso, como vamos a estudiar el movimiento oscilatoriodel resorte durante un período corto de tiempo, consideraremos que la amplitud permanece constante durante el movimiento, despreciando el rozamiento con el aire que lo rodea y cualquier otro tipo de rozamiento que pudiera existir. Si queremos conocer entonces la relación de la incógnita ω en función de la constante elástica del resorte y de la masa, tenemos que despejarla de la ecuación diferencial(2). Conociendo x(t) podemos hallar x(t) y reemplazar en la ecuación (2) para hallar la frecuencia. Por lo tanto, averiguamos
xt= Aω sen (ωt+ φ)
xt= -Aω2 cos (ωt+ φ)
Reemplazamos en (2)
- m.Aω2 cos ωt+ φ=-k .(A.cos (ω.t+ φ)+l0+m gk-l0)+ m g
- m . Aω2 cos ωt+ φ=-k . A.cos (ω.t+ φ)-k.l0-m g+k l0+ m g
- m .ω2 A.cos ωt+ φ=-k . A.cos (ω.t+ φ)
m.ω2 =k
ω2 =km
De esta forma, vemos queconociendo el valor de la frecuencia a la que oscila el resorte y el valor de la masa colocada, conocemos el valor de la constante k. Nuestro objetivo en este trabajo será determinar la constante elástica del resorte k en el estado estático como en el dinámico y comparar ambos resultados. Para esto realizamos las experiencias detalladas en la sección que sigue.

Fig. 1. Esquema experimental del sistema...