muestreo del trabajo

4. VARIABLES ALEATORIAS Y
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

4.3 Distribuciones de Probabilidad para variables
aleatorias discretas
4.3.1 Distribuciones de Probabilidad Discreta
4.3.1.1. Distribución Binomial
4.3.1.2. Distribución Geométrica
4.3.1.3. Distribución Hipergeométrica
4.3.1.4. Distribución de Poisson .
4.3.2. Ejercicios Resueltos
4.3.3 Ejercicios Propuestos

Vázquez, H. 20091

4.3.1 Introducción
Caso Real: Variables Aleatorias Discretas
Un ingeniero de control de calidad inspecciona una muestra aleatoria de 3 baterías
de cada lote de 24 baterías para automóvil listo para ser embarcado. Si uno de
esos lotes contiene seis baterías con ligeros defectos, ¿qué probabilidades hay de
que la muestra del inspector contenga al menos dos baterías con defectos?

Elnúmero de mensajes que se envían por computadora a un boletín electrónico es
una variable aleatoria Poisson con una media de cinco mensajes por hora. ¿Cuál es
la probabilidad de que el boletín reciba cinco mensajes en una hora?

4.3.1.1. Distribución de Probabilidad Binomial:
La distribución binomial es una de las distribuciones discretas de probabilidad más
útiles. Sus áreas de aplicaciónincluyen inspección de calidad, ventas,
mercadotecnia, medicina, investigación de opiniones, etc.
Un experimento binomial tiene las siguientes propiedades:
1.- El experimento consiste en "n" ensayos idénticos e independientes entre sí.
2.- Cada ensayo tiene dos resultados posibles: el éxito, ocurrencia del evento, y el
fracaso, la no ocurrencia.
3.- La probabilidad de éxito en un ensayo esigual a "p", la cual permanece
constante para cada ensayo. La probabilidad de fracaso es igual a l - p = q.
4.- La variable aleatoria discreta "x" representa el número de éxitos en los "n"
ensayos.

Definición: Sea "x" una variable aleatoria que se presenta el número de éxitos en
"n" ensayos y "p" la probabilidad de éxito con cualquiera de éstos. Se dice entonces
que "x" tiene unadistribución binomial con función de probabilidad:

b( x; n; p) n Cx p x q n  x
Donde:
n: número de intentos repetidos
x: número de éxitos
p: probabilidad de éxito
q: probabilidad de fracaso.

Vázquez, H. 2009

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Ejemplo:
Si la probabilidad de cualquier elector registrado (seleccionando al azar de las listas
oficiales) vote en una elección determinada es 0.70. ¿ Cuál es la probabilidad deque dos de cinco electores registrados voten en la elección?.
Solución:
x = variable aleatoria discreta que representa el evento. "Electores que votan en la
elección" : x = 2.
p = probabilidad de éxito: p = 0.70
l-p = probabilidad de fracaso: q = 1 - 0.70 = 0.30.
n = total de electores: n = 5.

De una distribución de probabilidad binomial, se puede calcular su valor esperado,
(media oesperanza matemática) su varianza y desviación estándar.
Media:
Varianza:
Desviación
Estándar:

Las observaciones durante un largo periodo muestran que un vendedor
determinado puede concluir una sola entrevista con una probabilidad de 0.2.
Supóngase que el vendedor entrevista a cuatro prospectos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que dos prospectos compren el producto?
b) ¿Cuál es laprobabilidad de que al menos dos prospectos compren el artículo?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que todos los prospectos compren el producto?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo mucho dos prospectos compren el
artículo?
e) Calcular la media y desviación estándar.

Vázquez, H. 2009

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Solución:

4.3.1.2. Distribución de Probabilidad Geométrica:
De nuevo supóngase una serie de ensayosBernoulli independientes con una
probabilidad constante de éxito p en cada ensayo. Sin embargo, lugar de tener un
número fijo de ensayos, ahora éstos se realizan hasta que se obtiene un éxito. Se
la variable aleatoria X el número de ensayos realizados hasta obtener el primer
éxito. Considere que se analiza una serie de cilindros de aire, uno tras otro, hasta
que se encuentra uno que contenga...