Muestreo

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MUESTREO
Las señales digitales presentan grandes ventajas a la hora de ser transmitidas y/o procesadas: mayor inmunidad al ruido, mayor facilidad de procesamiento y facilidad de multiplexaje son las mas resaltantes. Es por esto que existe interés en convertir señales analógicas (tiempo y amplitud continuos) en señales digitales (tiempo y amplitud discretos). El primer paso consistirá endiscretizar la señal en tiempo. Este proceso se llama muestreo, Analizaremos diversas formas de muestreo.
Muestreo Ideal: Teorema del muestreo
Suponga una señal x(t) cuya transformada X(f) tiene la siguiente forma:
 
 
[pic]
Por ejemplo las señales de voz para telefonía básica tienen fmax=4KHz, la voz en general puede alcanzar fmax=20KHz, para audio se toma fmax=30KHz y para las señales de videofmax=6MHz.

Se pueden tomar muestras de la señal multiplicándola por un tren de impulsos periódicos de periodo ts, tal y como se muestra en la figura. A esto se le llama muestreo ideal.
[pic]
Es decir: xs(t) = x(t) . δs(t)
[pic]
En el dominio de la frecuencia se tendrá que:
[pic]
Por lo tanto, llamando fs al inverso de ts, se tendrá que:
[pic]
La convolución de una función cualquieracon una delta reproduce a la función en el punto donde ocurre la delta y así
[pic]
de manera que el espectro de la señal muestreada será el siguiente:
[pic]
El espectro de la señal original se repite cada fs. Si quisiéramos rescatar la señal original, bastaría utilizar un filtro pasabajo (LPF) ideal pero esto siempre y cuando

  [pic]
o sea que
[pic]
La frecuencia mínima de muestreo seríafs = 2fmax muestras por segundo, y se conoce como la frecuencia de Nyquist. Si se muestrea a una frecuencia inferior a la de Nyquist los espectros de la señal muestreada se solaparán y no se podrá recuperar el mensaje original. Este efecto se le llama "aliasing". Cuando la señal tiene impulsos en los extremos de su espectro, es necesario muestrear a una frecuencia superior a 2fmax. (Demuéstrelo).El mensaje original puede recuperarse mediante un filtro pasabajo ideal cuya frecuencia de corte sea fmax. La salida de este filtro, en el dominio de la frecuencia, será:
Y(f) = Xs(f) . KΠ(f/2fmax)= Kfs X(f)

En el dominio del tiempo el producto se cambia por la convolución:
[pic]
La respuesta al impulso de un filtro pasabajo ideal como el descrito sería
h(t) = 2Kfmax Sinc(2fmaxt)
Por lotanto
[pic]
[pic]
Cuando fs = 2fmax
[pic]

Es decir, se suman infinitos Sinc’s con pesos iguales a cada muestra x(nts) y esto reproduce a la señal x(t). Esta es la llamada fórmula de interpolación. Observe que se necesitan todas las muestras para obtener x(t). En la práctica solo se tendrá un número finito de muestras, por lo tanto existirá un error llamado error detruncamiento.
En la práctica no se puede realizar este tipo de muestreo ideal ya que es imposible "fabricar" un tren de impulsos periódicos. Una solución sería usar cualquier señal periódica de forma que la señal muestreada xM(t) vendría dada por:
[pic]
Donde se ha sustituido la expresión de la señal periódica por la de su serie de Fourier. En el dominio de la frecuencia, la señal periódica serepresenta por un tren de impulsos con peso Cn, de manera que el espectro de la señal muestreada será la repetición del espectro de X(f) cada fs multiplicado por Cn.
[pic][pic]Cuando la señal periódica es un tren de pulsos el muestreo se le llama muestreo natural. La señal en tiempo luciría como sigue:
[pic]
El espectro en cambio seria
[pic]
En este caso la señal x(t), al igual que en muestreoideal, se puede recuperar con un filtro pasabajo.
En la práctica se prefiere otro tipo de muestreo, el llamado muestreo tope plano en el cual se toma una muestra de la señal cada ts y se mantiene durante un tiempo τ. La señal luciría como sigue:
[pic]
Sus ventajas son las siguientes:
Es mas fácil de realizar con circuitos llamados Sample&Hold
Es mas inmune al ruido
No importa la forma de los...
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