Muetsras bivariadas

Determinación de parámetros.
Da la distribución conjunta trivariada.
fxyz=kx+yz+1 , x=0, 1, 2, 3 y=0, 1, 2z=1, 2, 3
Como vemos este es un modelo cualquiera, debemos encontrar el valor de k para que nuestro modelo de convierta en una función de probabilidades, el valor de k se lo encuentra cuando se cumple con la siguiente propiedad.

xyzkf(x, y,z)=1
Aplicando la propiedad a nuestro modelose obtiene:

x=03y=02z=13kx+yz+1=1

kx=03y=02z=13x+yz+1=1
Resolviendo la sumatoria nos queda lo siguiente:
k[0+02+0+12+0+22+0+03+0+13+0+23+0+04+0+14+0+24+1+02+1+12+1+22+1+03+1+13+1+23+1+04+1+14+1+24+2+02+2+12+2+22+2+03+2+13+2+23+2+04+2+14+2+24+3+02+3+12+3+22+3+03+3+13+3+23+3+04+3+14+3+24=1
k[270]=1
Despejando k
k=1270
Con lo cual nuestra función de probabilidad sería la siguiente:fx,y,z= 1270x+yz+1 ; x=0, 1, 2, 3 y=0, 1, 2z=1, 2, 3 0 ;para cualquier otro caso
Con lo cual las probabilidades quedan de la siguiente forma:
P X=0 Y=0 Z=1=0270
P X=0 Y=1 Z=1=2270
P X=0 Y=2 Z=1=4270
P X=0 Y=0 Z=2=0270
P X=0 Y=1 Z=2=3270
P X=0 Y=2 Z=2=6270
P X=0 Y=0 Z=3=0270
P X=0 Y=1 Z=3=4270
P X=0 Y=2 Z=3=8270
P X=1 Y=0 Z=1=2270
PX=1 Y=1 Z=1=4270
P X=1 Y=2 Z=1=6270
P X=1 Y=0 Z=2=3270
P X=1 Y=1 Z=2=6270
P X=1 Y=2 Z=2=9270
P X=1 Y=0 Z=3=4270
P X=1 Y=1 Z=3=8270
P X=1 Y=2 Z=3=12270
P X=2 Y=0 Z=1=4270
P X=2 Y=1 Z=1=6270
P X=2 Y=2 Z=1=8270
P X=2 Y=0 Z=2=6270
P X=2 Y=1 Z=2=9270
P X=2 Y=2 Z=2=12270
P X=2 Y=0 Z=3=8270
P X=2 Y=1 Z=3=12270
P X=2 Y=2 Z=3=16270
P X=3 Y=0 Z=1=6270
PX=3 Y=1 Z=1=8270
P X=3 Y=2 Z=1=10270
P X=3 Y=0 Z=2=9270
P X=3 Y=1 Z=2=12270
P X=3 Y=2 Z=2=15270
P X=3 Y=0 Z=3=12270
P X=3 Y=1 Z=3=16270
P X=3 Y=2 Z=3=20270
Esto se explica de la siguiente manera, al tener P X=3 Y=1 Z=3=16270, se lee que la probabilidad de tener tres menores de edad, una mascota y tres mesas en la casa es 16/270.
Determinación del vector de medias.
Parel cálculo del vector de medias nos ayudamos con la definición de valor esperado:
μx=EX= x=03y=02z=13x 1270x+yz+1
μx=EX= x=03y=02z=13x P(X=x Y=y Z=z)
Resolviendo la sumatoria nos queda lo siguiente:
μx=EX= 027270+154270+281270+3108270=2
Aplicando el mismo criterio para la variable y tenemos:
μy=EY= x=03y=02z=13y P(X=x Y=y Z=z)
Resolviendo la sumatoria tenemos:
μy=EY=054270+190270+2126270=1.27

Aplicando el mismo criterio para la variable z tenemos:
μz=EZ= x=03y=02z=13z P(X=x Y=y Z=z)
Resolviendo la sumatoria tenemos:
μz=EZ= 160270+290270+3120270=2.22
Con lo cual formamos nuestro vector de medias, que nos quedad de la siguiente manera:
μ=21.272.22
Determinación de matriz de varianzas y covarianzas.
Procedemos a calcular la varianza de las variables y nos ayudamos de lasiguiente expresión para cada una de las variables.
σx2=ΕX2-μx2
Para lo cual debemos encontrar el valor de ΕX2, ΕY2, ΕZ2, y nos ayudamos de las siguientes expresiones.
EX2= x=03y=02z=13x2 P(X=x Y=y Z=z)
Resolviendo la sumatoria nos queda lo siguiente:
EX2= 027270+154270+481270+9108270=5
Aplicando el mismo criterio para la variable y tenemos:
EY2= x=03y=02z=13y2 P(X=x Y=y Z=z)
Resolviendo lasumatoria tenemos:
EY2= 054270+190270+4126270=2.20
Aplicando el mismo criterio para la variable z tenemos:
EZ2= x=03y=02z=13z2 P(X=x Y=y Z=z)
Resolviendo la sumatoria tenemos:
EZ2= 160270+490270+9120270=5.55
Una vez obtenidos los valores anteriores, procedemos a calcular la varianza, de la siguiente manera:
Primero calculamos la varianza de x: números de menores de edad en el hogar.σx2=ΕX2-μx2
σx2=5-22=1
Seguimos con el cálculo de la varianza de y: número de mascotas en el hogar.
σy2=ΕY2-μy2
σy2=2.20-1.272=0.59
Finalizamos con el cálculo de z: número de mesas en la casa.
σz2=ΕZ2-μz2
σz2=5.55-2.222=0.62
Se procede al cálculo de la covarianza entre variables.
cov x,y=EXY-μxμy

Procedemos a calcular EXY, aplicando la definición de valor esperado.
EXY= x=03y=02z=13xy P(X=x...