Muliplexor

Matemáticas IV
(Ecuaciones Diferenciales)
Mtro. Sergio Carrasco Romo
Primavera 2012
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7 La Transformada de Laplace página 255
7.1

Definición de la Transformada de Laplace página 256

Transformada de Laplace
3
d 2
1 3
2
2
x = 2x
∫ x dx = 3 x + c ∫0 x dx = 9
dx
Si f (t) esta definida para t ≥ 0, entonces la integral impropiaf ( x) = x 2

∫

∞

0

K ( s, t ) f (t ) dt

esta definida como un límite

∫

∞

0

b

K ( s, t ) f (t ) dt = lim ∫ K ( s, t ) f (t ) dt
b →∞ 0

Si existe el límite, se dice que la integral existe o es
convergente, si no hay límite, la integral NO existe y se afirma
que es divergente
M.C. Sergio Carrasco Romo 175
Material 03
ECUACIONES DIFERENCIALES

1Definición 7.1.1 Transformada de Laplace
Sea f una función definida para t ≥ 0 . Entonces se dice que la
∞
integral
L { f (t )} = e − st f (t ) dt

∫

0

es la transformada de Laplace de f, siempre y cuando la
integral converja
Ejemplo 2 página 257: Evalúe L { f (t )} = t
∞

L {t } = ∫ te − st dt = lim ∫ te − st dt
b

du = dt

u=t

b →∞ 0

0

− 1 − st
1 − st
∫ e (− s)dt v = −s e
s
b
b
b
t − st b 1 b − st 
1

 t
lim ∫ te − st dt = lim − e
+ ∫ e dt  = lim − e − st − 2 e − st 
0
0
0
b →∞ 0
b →∞
s 0
s
 s
 b →∞ s

1
b
1  
0
1 

1
lim(  − s (b ) − 2 s ( b )  −  − s ( 0 ) − 2 s ( 0)  ) = 2 L {t } = 2
b →∞ 
s
se
s e   se
se 
s
dv = e − st dt

∫ dv =

M.C. Sergio Carrasco Romo 176
Material 03
ECUACIONESDIFERENCIALES

Utilizar la definición 7.1.1 para encontrar L{f(t)}
∞

L { f (t )} = ∫ e − st f (t ) dt = lim ∫ e − st f (t ) dt
b

b →∞ 0

0

Ejercicios 7.1 Pág. 261 Propuesto 11
f (t ) = et + 7

f (t ) = e 7 e t

L {et +7 } = lim ∫ e − st et +7 dt
b

b →∞ 0

{}

e L e = lim e
7

t

{}

b →∞

7

∫

b

0

e

− ( s −1) t

(−1)e 7
b →∞ s − 1

e 7L et = lim

∫b

0

dt

{}

(−1)e 7 −( s −1) t b
e
0
b→ ∞ s − 1

{}

(−1)e 7  1
1 
 ( s −1) b − ( s −1)( 0) 
b→ ∞ s − 1
e
e


e 7L et = lim

e 7L et = lim

{}

e7  1
1 
e L e =−
 ( s −1)( ∞ ) − ( s −1)( 0 ) 
s −1  e
e

7

t

e −( s −1) t (−1)( s − 1) dt

{}

e 7L e t =

e7
s −1

M.C. Sergio Carrasco Romo 177
Material 03
ECUACIONES DIFERENCIALES2

Utilizar la definición 7.1.1 para encontrar L{f(t)}
∞

L { f (t )} = ∫ e − st f (t ) dt = lim ∫ e − st f (t ) dt
b

b →∞ 0

0

Ejercicios 7.1 Pág. 261 Propuesto 15
f (t ) = e −t sin t

L {e −t sin t} = lim ∫ e − st e −t sin t dt
b

b →∞ 0

L {e −t sin t} = lim ∫ e −( s +1)t sin t dt
b

b →∞ 0

u = e −( s +1) t

du = −( s + 1)e − ( s +1)t dt

dv = sin t dt v = −cos t

{

}

b

b
L e sin t = lim − e −( s +1) t cos t − ( s + 1) ∫ e −( s +1)t cos t dt 


0
b →∞
0
−t

M.C. Sergio Carrasco Romo 178
Material 03
ECUACIONES DIFERENCIALES

L {e −t sin t } = lim ∫ e −( s +1)t sin t dt
b

b→∞ 0

L {e −t sin t} = lim − e −( s +1)t cos t − ( s + 1) ∫ e −( s +1) t cos t dt 


b


du = −( s + 1)e − ( s +1)t dt

b →∞

u=e− ( s +1) t

0


dv = cos t dt v = sin t

L {e −t sin t} = lim − e −( s +1)t cos t − ( s + 1) e −( s +1) t sin t + ( s + 1) ∫ e −( s +1) t sin t dt  



b




b
L e −t sin t = lim − e −( s +1)t cos t − ( s + 1)e −( s +1)t sin t − ( s + 1) 2 ∫ e −( s +1)t sin t dt 


0
b →∞

b


1
L e −t sin t = lim
− e −( s +1) t cos t − ( s + 1)e −( s +1) t sin t
b →∞ ( s + 1) 2 + 1

0

b →∞

{

0

}

{

}

L {e −t sin t} =

(

)

  cos b ( s + 1) sin b   cos 0 ( s + 1) sin 0  
1
−
−
 −
 −−

2
( s + 1) + 1   e ( s +1)b
e ( s +1) b   e ( s +1)(0)
e ( s +1)(0)  

L {e −t sin t} =

1
( s + 1) 2 + 1

M.C. Sergio Carrasco Romo 179
Material 03
ECUACIONES DIFERENCIALES

3

L {e −t sin t } =...