Multiplicación de matrices

MATRICES Y VECTORES EN Rn
Multiplicación de matrices
De…nition 1 Sean A una matriz de tamaño m n y B una matriz de tamaño n p con
entradas reales. La multiplicación de las matrices A y B; es la matriz AB = (cij ) ; donde
cij =

m
X

aik bkj ;

i = 1;

; m;

j = 1;

; p

k=1

Observaciones:
1. Para multiplicar dos matrices se debe veri…car que el número de columnas del primerfactor es igual al número de …las del segundo factor.
2. El elemento ij de la matriz producto AB; es el producto punto de la i esima …la de
la matriz A con la j esima columna de la matriz B
Ejemplos
1. Dadas las matrices
0

1
1 0
A=@ 3 2 A
1 0

B=

2 3
0 3

0 4
1 1

;

calcule AB o BA según sea posible.
Solución:
La matriz A tiene tamaño 3 2 y la matriz B tiene tamaño 22: Como el número de
columnas de A es igual al número de …las de B; entonces el producto AB es calculable. Al
hacer el cálculo, obtenemos
0
1
1 0
2 3
AB = @ 3 2 A
0 3
1 0
0
1
( 1) ( 2) + 0 0 ( 1) (3) + 0 3
= @ ( 3) ( 2) + 2 0 ( 3) (3) + 2 3 A
(1) ( 2) + 0 0
(1) (3) + 0 3
0
1
2
3
3 A
= @ 6
2 3

Note que el número de columnas de B; en este caso 2 es diferente del número de…las de A;
el cual es 3; por tanto el producto BA no es calculable.
2. Dadas las matrices
0

1
1 0
A=@ 3 2 A
1 0

B=

1

2 3
0 3

0
1

;

calcule AB o BA según sea posible. ¿Qué puede decirse de los tamaños de las matrices
AB y BA:
Solución:
Una veri…cación rápida nos permite concluir que los productos AB y BA son calculables.
Al efectuar dichos cálculos, obtenemos losiguient·
e:
0
1
0
1
1 0
2
3 0
2 3 0
3
2 A
AB = @ 3 2 A
=@ 6
y
0 3
1
1 0
2 3
0
0
1
1 0
2 3 0
7 6
@ 3 2 A=
BA =
0 3
1
10 6
1 0
Observe que AB 6= BA: Más aún, tienen tamaños diferentes.
3. Dadas las matrices
0

1
1 0 1=2
A=@ 3 2 0 A
1 0
2

0

2 3
@ 0 3
B=
2=3 0

1
0
1 A;
1=2

Calcule AB y BA según sea posible. ¿Qué puede decirse de los tamaños de lasmatrices
AB y BA?¿Qué puede decirse de los productos AB y BA?
A continuación presentamos un teorema que resume algunas de las propiedades más
importantes de la multiplicación de matrices
Teorema(Propiedades de la multiplicación) Sean A; B; C matrices tales que los productos requeridos están de…nidos y r 2 R: Entonces
1. A0 = 0 y 0A = 0; donde 0 es la matriz nula apropiada.
2. AIn = A y Im B =B; donde In y Im son las matrices identidad del tamaño
apropiado.
3. (AB) C = A (BC)
4. (rA) B = r (AB) :
5. A (B + C) = AB + AC y (A + B) C = AC + BC:
6. (AB)t = B t At :
7. La multiplicación de matrices no es, en genaral, conmutativa.
Demostración (Ejercicio).
Comentario.
La propiedad asociativa de la multiplicación de matrices nos permite calcular producto
de tres o más matrices,simplemente colocando signos de agrupación en forma conveniente.
Por ejemplo, el producto ABCD es igual a cada uno de los productos dados a continuación
(AB) (CD) ; A[(BC) D]; A[B (CD)];

[(AB) C]D;

[A (BC)]D:

En general, si A es una matriz cuadrada, podemos calcular el producto de A consigo misma
un número …nito de veces, es decir, los productos
AA; AAA; AAAA; AAAAA; etc
son posibles.Esto motiva la siguiente de…nición
2

Potenciación de matrices
De…nition 2 Sean A una matriz cuadrada de tamaño n n y k 2 N: De…nimos la k esima
potencia de A; simbolizada por Ak ; de la siguiente manera
A0 = In ;

A k = Ak 1 A

Observaciones
1) De la de…nición dada se sigue que
A1 = A0 A = In A = A;

A2 = A1 A = AA;

A3 = A2 A = AAA

en genaral,
Ak = AAA

A;

k veces A:

Acontinuación presentamos un teorema que nos da algunas propiedades de la pototenciación de matrices
Teorema(Propiedades de la potencia) Sean A; B matrices de tamaño nxn y k; l 2 N;
entonces
1. Ak Al = Ak+l:
2. (AB)k = Ak B k ; si AB = BA; es decir, si A y B conmutan.
3. Ik = In
n
Demostración (Ejercicio).

Formas escalonada y escalonada reducida de una matriz
De…nition 3 Sean A una...