Máximos Y Mínimos En Varias Variables

“Año de la diversificación productiva y el fortalecimiento de la Educación”

UNIVERSIDAD PRIVADA ALAS PERUANAS
TEMA:
MÁXIMOS Y MÍNIMOS
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA
MULTIPLICADORES DE LAGRANGE
CURSO: CÁLCULO VECTORIAL.
DOCENTE: M. Sc CESA ALFREDO NORIEGA SANCHEZ.
INTEGRANTES:
ALDEA ELIAS, TATIANA.
VALERA CORREA, SOL.
REYES PISFIL, ANTHONY.
VILCA HERNANDEZ, RUDY.
YENQUE CARBAJAL,WILLIAMS.




2015
MÁXIMOS Y MÍNIMOS EN VARIAS VARIABLES

El desarrollo de la teoría de máximos y mínimos en funciones de varias variables es una extensión del caso de funciones de una sola variable.
En todo este desarrollo supondremos que f es una función con derivadas parciales continuas.
En la siguiente figura se tiene una función que tiene un máximo absoluto en(X0, Y0) .


Definición de extremorelativo.- Una función en dos variables, tiene un máximo relativo en en una región rectangular que contenga a . Similarmente también tiene una función con un mínimo relativo en donde la para todo que contenga .



Los máximos relativos corresponden a los picos o cimas de las montañas y los mínimos relativos a los hoyos o pozos. En los picos, alguna de las dos derivadas parciales no existe yen los hoyos o cimas de la montaña las dos derivadas parciales son cero.

Ahora tenemos la Teorema:
Se tiene tiene un máximo y un mínimo relativo y las derivadas parciales la tienen en ese punto y puntos cercanos mas a este. .

Definición de puntos críticos: Un punto en tal que se le denomina un punto crítico de .






De manera similar en el caso de las funciones de una sola variables.Existen funciones de una sola variable, existen funciones como la silla de montar. Donde las derivadas parciales son ceros en el punto crítico y sin embargo en ese punto no se alcanza ni un máximo ni un minino relativo.
Llamaremos un punto de silla a un punto donde las derivadas parciales se hacen cero y sin embargo no se alcanza ni un máximo ni un mínimo relativo.
EJERCICIOS:
1. Encontrar lospuntos críticos de la función:

Solución:
Conseguimos primero las derivadas parciales de primer orden:




Planteamos las siguientes ecuaciones:


En este caso queda:
(1)
(2)

Este es un sistema de ecuaciones lineales. Podemos en este caso resolverlo con cualquiera de los métodos existente. Usamos el método de reducción. Multiplicamos por -2 la primera ecuación.


Y si sumamos ambasecuaciones nos da:


Para encontrar y cuando el luego de ese sustituimos en el (1) y (2); la que cosnideramos mas fácil de resolver, escogemos en el punto (1).



En conclusión el único punto crítico de la función es el punto .

2. Encontramos los puntos críticos de la función

Solución:
Conseguimos las derivadas parciales de primer orden:


En este caso queda:
(1)
-3x = 0 (2)
Este es unsistema de ecuaciones no lineal. Este sistema cae en la situación en que podemos despejar una de las variables en una ecuación y sustituirla en la otra ecuación. En este caso podemos despejar tanto x como y. Despejamos y en la primera ecuación.


Y la sustituiremos en la ecuación (2).Esta última ecuación la resolveremos por la técnica de factorización. Primero factorizamos el lado izquierdo sacando x de factor común.

Planteamos tantas ecuaciones como factores, igualando cada factor a cero.
x = 0 ó (en la última ecuación despejamos
x = 0 (elevamos ambos miembros a o de manerasimilar tomamos raíz quinta)
x = 0 ó
Para encontrar y cuando x= 0 sustituimos en (1) o (2), la que consideremos más fácil de resolver, escogemos (1).
y = (0)2
Así (0,0) es un punto crítico de la función.
Para encontrar y cuando sustituimos en (1) y despejamos y.
y = es el otro punto crítico de la función.


CRITERIO DE LAS SEGUNDAS DERIVADAS PARA CLASIFICAR
LOS PUNTOS CRÍTICOS

Este...