Método newton

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Descripción del método

La función ƒ es mostrada en azul y la línea tangente en rojo. Vemos que xn+1 es una mejor aproximación que xn para la raíz x de la función f.
El método de Newton-Raphson es un método abierto, en el sentido de que su convergencia global no está garantizada. La única manera de alcanzar la convergencia es seleccionar unvalor inicial lo suficientemente cercano a la raíz buscada. Así, se ha de comenzar la iteración con un valor razonablemente cercano al cero (denominado punto de arranque o valor supuesto). La relativa cercanía del punto inicial a la raíz depende mucho de la naturaleza de la propia función; si ésta presenta múltiples puntos de inflexión o pendientes grandes en el entorno de la raíz, entonces lasprobabilidades de que el algoritmo diverja aumentan, lo cual exige seleccionar un valor supuesto cercano a la raíz. Una vez que se ha hecho esto, el método linealiza la función por la recta tangenteen ese valor supuesto. La abscisa en el origen de dicha recta será, según el método, una mejor aproximación de la raíz que el valor anterior. Se realizarán sucesivas iteraciones hasta que el método hayaconvergido lo suficiente. f'(x)= 0 Sea f : [a, b] -> R función derivable definida en el intervalo real [a, b]. Empezamos con un valor inicial x0 y definimos para cada número natural n

Donde f ' denota la derivada de f.
Nótese que el método descrito es de aplicación exclusiva para funciones de una sola variable con forma analítica o implícita cognoscible. Existen variantes del método aplicablesa sistemas discretos que permiten estimar las raíces de la tendencia, así como algoritmos que extienden el método de Newton a sistemas multivariables, sistemas de ecuaciones, etc.
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[editar]Obtención del Algoritmo
Tres son las formas principales por las que tradicionalmente se ha obtenido el algoritmo de Newton-Raphson.
La primera de ellas esuna simple interpretación geométrica. En efecto, atendiendo al desarrollo geométrico del método de la secante, podría pensarse en que si los puntos de iteración están lo suficientemente cerca (a una distancia infinitesimal), entonces la secante se sustituye por la tangente a la curva en el punto. Así pues, si por un punto de iteración trazamos la tangente a la curva, por extensión con el método dela secante, el nuevo punto de iteración se tomará como la abscisa en el origen de la tangente (punto de corte de la tangente con el eje X). Esto es equivalente a linealizar la función, es decir, f se reemplaza por una recta tal que contiene al punto (,  ()) y cuya pendiente coincide con la derivada de la función en el punto, . La nueva aproximación a la raíz, , se logra la intersección de lafunción lineal con el eje X de abscisas. Matemáticamente:

Ilustración de una iteración del método de Newton (la función f se demuestra en azul y la línea de la tangente está en rojo). Vemos que  es una aproximación mejor que  para la raíz  de la función .
En la ilustración adjunta del método de Newton se puede ver que  es una mejor aproximación que  para el cero (x) de la función f.
Una formaalternativa de obtener el algoritmo es desarrollando la función f (x) en serie de Taylor, para un entorno del punto :

Si se trunca el desarrollo a partir del término de grado 2, y evaluamos en :

Si además se acepta que  tiende a la raíz, se ha de cumplir que , luego, sustituyendo en la expresión anterior, obtenemos el algoritmo.
Finalmente, hay que indicar que el método de Newton-Raphson puedeinterpretarse como un método de iteración de punto fijo. Así, dada la ecuación , se puede considerar el siguiente método de iteración de punto fijo:

Se escoge h (x) de manera que g'(r)=0 (r es la raíz buscada). Dado que g'(r) es:

Entonces:

Como h (x) no tiene que ser única, se escoge de la forma más sencilla:

Por tanto, imponiendo subíndices:

Expresión que coincide con la del...