Método simplex

INVESTIGACION OPERATIVA
Programación Lineal. Método Simplex
Unidad Nº 2, 3, 4
METODO SIMPLEX: Bases matemáticas
Teníamos en nuestro problema original las siguientes ecuaciones:
Mezclado: x1+ 2.x2≤ 720 (R1)
Cocción: 5.x1+4.x2≤ 1800 (R2)
Envasado 3.x1+ .x2≤ 900 (R3)
La función objetivo Z = 40.x1+50.x2 sujeta a las siguientes restricciones:
Siendo a su vezx1 y x2 ≥ 0 (condición de no negatividad)
Transformamos las inecuaciones en ecuaciones agregando una variable slack o de holgura, que en nuestro caso particular representa la cantidad de recurso sobrante, las representaremos con correspondientes a los recursos 1 , 2 y 3 respectivamente : Como las mismas representan justamente recursos sobrantesparticipan en el funcional con coeficiente cero , por lo que el funcional se transforma en : Z = 40.x1+ 50.x2 +0.S1+0.S2+0.S3
( 1 ) x1+2.x2 + S1= 720
( 2 ) 5.x1+4.x2 + S2= 1800
( 3 ) 3.x1+ x2 + S3 = 900
En la primera solución habíamos visto en el método gráfico que nos encontrábamos en el centro de coordenadas y por lo tanto no producimos nada , esto implica que nos sobran lostres recursos.
Matemáticamente lo anterior se indica :
Variables no básicas
x1 = 0
x2 = 0
Variables básicas
S1= 720
S2= 1800
S3 = 900
Z = 40. 0 + 50. 0 = 0
El método simplex consiste en incrementar el valor de las variables no básicas y estudiar como varía el funcional Z con dicho incremento
Segunda solución: Incrementaremos por ahora x2 por el simple hecho de poseer mayorcoeficiente de funcional ( posteriormente daremos otros criterios a los efectos de determinar cual es la variable que ingresa).
Al incrementar x2 se produce una modificación en las otras variables .
Nuestra tarea será incrementar x2 ; nos interesaría en principio que la misma aumente el máximo posible pero nos encontramos con algunas limitaciones que ahora apreciaremos con más detalle:Despejamos de las respectivas ecuaciones y las colocamos en función de x2 , posteriormente veremos cual es el valor de x2 que anula a
S1= 720 -2.x2- x1
S2= 1800 - 4.x2 - 5.x1
S3 = 900 - x2 - 3.x1
Ahora si x1 = 0 el sistema anterior nos queda
S1= 720 -2.x2  valor de x 2 que anula a S1
S2= 1800 - 4.x2  valor de x 2 que anula a S2
S3 = 900 - x2  valor de x 2 queanula a S3
De los tres valores de x2 elijo el menor es decir x2 = 360 ya que si observamos el sistema de ecuaciones reciente un valor mayor a 360 en el mismo nos haría negativos a respectivamente en cada una de ellas. Al menor valor de x 2 que anula algunas del as variables S, lo denominaremos genéricamente con la letra θ
Sintetizando la nueva solución nos queda

Variables no básicas
x1 = 0S1 = 0
Variables básicas
x2= 360
S2= 360
S3 = 540
Z = 50 . 360 = $ 18000
Tercera solución :
Volviendo al sistema original
( 1 ) x1+2.x2 + S1= 720
( 2 ) 5.x1+4.x2 + S2= 1800
( 3 ) 3.x1+ x2 + S3 = 900
Incrementaremos x1 con un criterio similar es decir colocaremos x1 en función de x2 , S2 y S3 y veremos cual es el valor de x1 que las anula.
si S1 = 0 en la ecuación (1 ) x1+2.x2 = 720  siendo x1 = 720 el valor que anula a x2 .
En la ecuación ( 2 ) debo hacer desaparecer a x2 para apreciar como se modifica S2 en la medida que crece x1 ; para ello en el sistema original divido a la ecuación ( 1 ) por el coeficiente que acompaña a x2 en la misma , en este caso el coeficiente es 2 .
( 4 )
Ahora hacemos ( 2 ) – ( 4 ) . 4 siendo este último 4 elcoeficiente que acompaña a x2 en la ecuación ( 2 )

( 5 ) si S1 = 0 la ecuación ( 5 ) nos queda :
 siendo x1 = 120 el valor que anula a S2
Por último realizamos un procedimiento similar con la ecuación ( 3 ) a los efectos de visualizar cual es el valor de x1 que anula a S3
Para ello hacemos ( 3 ) – ( 4 ) . 1 siendo 1 el coeficiente que acompaña a x2 en la ecuación ( 3 )...