Mínimos Cuadrados

Métodos Numéricos II

Mínimos cuadrados
Objetivos
•
•

Deducir las fórmulas de grado n para el método de mínimos
cuadrados.
Aplicar las fórmulas de mínimos cuadrados a problemas de
ajuste de curvas mediante la elaboración de un programa en
lenguaje C.

Introducción
El estudio de la teoría de la aproximación comprende dos tipos
generales de problemas. Uno se presenta cuando unafunción se da
de manera explícita, pero se desea encontrar un tipo más simple de
ella, un polinomio por ejemplo, que sirva para determinar los valores
aproximados de una función dada. El otro problema se refiere a la
adaptación de las funciones a ciertos datos y a la búsqueda de la
función “óptima” en una clase que se pueda emplear para
representar los datos.

Teresa Carrillo Ramírez - pág.1

Métodos Numéricos II

Alternativas para el
ajuste
Supóngase que se tiene el problema de interpolación y se desean
estimar valores de una función en puntos no tabulados en la siguiente
tabla:
xi

yi

xi

yi

1

1.3

6

8.8

2

3.5

7

10.1

3

4.2

8

12.5

4

5.0

9

13.0

5

7.0

10

15.6

Si se grafican estos valores, se podríasuponer que la relación entre x
y y es lineal. La razón probable de que ninguna recta se ajuste a estos
datos es que tienen errores. Ahora si buscamos una función de
aproximación a estos datos no sería lógico pedir que se ajusten a cada
uno de los puntos (como en un polinomio de interpolación).

Para encontrar una función que se ajuste de la mejor manera a estos
datos se tienen las siguientesopciones:
Sea a1xi + a0 el i-ésimo valor de la recta de aproximación y yi el i-ésimo
valor dado para y. El problema de determinar la ecuación de la mejor
aproximación lineal en el sentido absoluto consiste en encontrar los
valores de a0 y a1 que minimicen

E ∞ (a 0 , a1 ) = max[ y i − (a1 xi + a 0 ) ]
1≤ i ≤10

Este problema se conoce como mínimax y no es tan simple su
solución.
Otraalternativa para encontrar la mejor aproximación lineal implica
hallar los valores de a0 y a1 que minimicen
10

E1 (a 0 , a1 ) = ∑ y i − (a1 x i + a 0 )
i =1

Esta cantidad se llama desviación absoluta. Para minimizar una
función de dos variables se deben igualar a cero sus derivadas
parciales y resolver en forma simultánea las ecuaciones resultantes.

Teresa Carrillo Ramírez - pág.

2Métodos Numéricos II

En el caso de la desviación absoluta se necesitan hallar a0 y a1 tales
que

∂
∂a 0

10

∑y
i =1

i

− ( a1 x i + a 0 ) = 0

y

∂
∂a1

10

∑y
i =1

i

− ( a1 x i + a 0 ) = 0

La dificultad de este procedimiento radica en que el valor absoluto no
es derivable en cero, y no necesariamente se pueden obtener las
soluciones de este par deecuaciones.
El método de mínimos cuadrados para resolver este problema
requiere determinar la mejor línea de aproximación, cuando el error
es la suma de los cuadrados de las diferencias entre los valores de y
en la línea aproximada y los valores de y dados. Por tanto hay que
encontrar las constantes a0 y a1 que reduzcan al mínimo el error de
mínimos cuadrados:
10

E 2 ( a 0 , a1 ) = ∑ [ y i − ( a1x i + a 0 ) ]

2

i =1

Consideraciones
El método de mínimos cuadrados es el procedimiento más adecuado
para determinar las mejores aproximaciones lineales. Algunas
consideraciones que lo favorecen son:
•

•

•

El método minimax generalmente le da demasiado valor
relativo a un pequeño elemento de datos que contiene un
gran error.
La desviación absoluta solo promedia el erroren varios puntos
sin dar suficiente valor relativo a un punto que está muy
alejado de la aproximación.
El método de mínimos cuadrados concede mayor valor
relativo al punto que está alejado del resto de los datos, pero
no permite que ese punto domine la aproximación.

Teresa Carrillo Ramírez - pág.

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Fórmulas para
mínimos cuadrados
El problema de ajustar la...