Números Complejos

Representaci´n de N´meros Complejos
o
u
Julio Narciso Argota Quir´z
o
email: julioargota@hotmail.com

Escuela Superior de C´mputo [sic],
o
Instituto Polit´cnico Nacional
e
Agosto 25, 2006
Resumen
Este documento da una peque˜a introducci´n a los conceptos b´sicos de los n´meros complejos
n
o
a
u
combinando un poco el aspecto geom´trico y anal´
e
ıtico.

Contenido
1Introducci´n
o

2 N´ meros complejos
u
2.1 Plano de Argand . . . . .
2.2 Representaci´n vectorial .
o
2.3 Representaci´n polar . . .
o
2.4 Representaci´n matricial .
o
2.5 Esfera de Riemann . . . .
2.6 Proyecci´n estereogr´fica .
o
a
2.7 Proyecci´n gnomonic . . .
o

2

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

..
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

3 Una funci´n compleja es una transformaci´n
o
o
3.1 L´
ımites y derivadade una funci´n compleja . . . . . . . . .
o
3.2 Transformaciones o mapeos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Traslaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
3.2.2 Rotaci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
3.2.3 Inversi´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
o
3.3 Transformaciones conformes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3.1Transformaci´n de M¨bius . . . . . . . . . . . . . . .
o
o
3.3.2 Representaci´n por matrices de la transformaci´n de
o
o

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
..
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

2
2
3
4
6
7
7
8

. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
M¨bius
o

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
..
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

8
8
9
9
10
10
12
12
13

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.

4 Aplicaciones geom´tricas
e

14

5 Conclusiones

18

Ap´ndices
e

19

A Gu´ r´pida de programaci´n en REC/C
ıa ao

19

1

1

Introducci´n
o

Entender lo que estamos haciendo es importante pero cuando no lo entendemos, una gr´fica siempre podra
a
ayudar.
REC/C es normalmente usado s´lo para mostrar el resultado de una operaci´n, es decir, si queremos
o
o
multiplicar dos n´meros complejos s´lo mostrar´ el n´mero complejo resultante, pero en este documento se
u
o
a
u
mostrar´n en lamayor´ de los ejemplos tanto los operadores como el resultado de la operaci´n.
a
ıa
o

2

N´ meros complejos
u

La representaci´n geom´trica de un n´mero real es un unico punto en una l´
o
e
u
´
ınea recta continua infinitamente larga, esta l´
ınea recta tiene establecida una unidad que es la distancia entre puntos consecutivos que
representan a los llamados n´meros enteros. Un n´merocomplejo es m´s general que esto.
u
u
a
Un n´mero complejo es un par ordenado de dos n´meros reales (a, b), de manera an´loga una variable
u
u
a
compleja es un par ordenado de dos variables reales.
z = (x, y)
El orden es importante, ya que en general (a, b) = (b, a). Normalmente un n´mero real (x, 0) es escrito s´lo
u
o
como x, y la unidad imaginaria i = (0, 1) s´lo es escrita como...