Nada

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´
UNIVERSIDAD CATOLICA DE LA SANT´
ISIMA CONCEPCION
FACULTAD DE INGENIER´
IA

´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS Y F´
ISICA APLICADAS.

Pauta Test 2
Calculo II (MAT124C)1. Resuelva la siguientes integrales por medio de sustituciones trigonom´trica.
e
a)

dx
.
(3 + 2x − x2 )3/2
Soluci´n
o

dx
(3 + 2x − x2 )3/2

dx

=

4 − (x − 1)23/2

haciendo
x − 1 = 2 sin θ =⇒ dx = 2 cos θ dθ
tenemos
dx
4 − (x − 1)

2 3/2

=

2 cos θ
3/2

4 − 4 sin2 θ
1
1
dθ =
2θ
cos
4

dθ =

2 cos θ
dθ
8cos3 θ

1
sec2 θdθ
4
1
=
tan θ + c
4
1
x−1
√
=
+c
4 3 + 2 x − x2
=

b)

dx
√
.
x2 x2 − 1

Soluci´n
o
dx
√
, haciendo x = sec θ =⇒ dx = sec θ tan θ dθ
x2x2 − 1
tenemos
dx
√
=
x2 x2 − 1

sec θ tan θ
√
dθ =
sec2 θ sec2 θ − 1
√
x2 − 1
= sin θ + c =
+ c.
x

tan θ
dθ =
sec θ tan θ

cos θ dθ

2. Por medio de uncriterio de comparaci´n, estudie la convergencia de la siguiente integral:
o
+∞

a)

x2
dx. ’
1 + x5
1
soluci´n Notar que
o
x5 ≤ 1 + x5 =⇒

1
1
≤ 5 multiplicar x2
51+x
x

tenemos

luego

+∞
1

+∞

b)
1

+∞

x2
x2
1
≤ 5 = 3 para x ≥ 1 y como
5
1+x
x
x

1

dx
converge
x3

x2
dx converge.
1 + x5

4

x
dx.1 + x5

soluci´n
o
Notar que
1 + x5 ≤ 2x5 =⇒
tenemos

1
1
≤
multiplicar x4
5
2x
1 + x5

1
x4
x4
= 5≤
para x ≥ 1 y
2x
2x
1 + x5

luego

+∞
1

+∞
1dx
diverge
x

x4
dx diverge.
1 + x5

3. Hallar el ´rea limitada por las curvas:
a
y = x3 − 3x, y = x.
Soluci´n
o
x3 − 3x = x =⇒ x3 − 4x = 0 =⇒ x = 0 ∨ x = −2 ∨ x = 2tenemos

2

2
3

x − x − 3x

A=2
0

4x − x

dx = 2
0

3

dx = 2

x4
2x −
4

2

2

0

luego
A = 8u2 .

MN/NS/AP

22 de noviembre de 2011