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Guías (2013)

Matemática Discreta y Autómatas


Trabajo práctico 1: Grafos.
Objetivos:
Adquirir el vocabulario pertinente a teoría de grafos y grafos dirigidos.
Representar grafos gráficamente y con las matrices de adyacencia y de incidencia.
Comprender el concepto de árbol y su utilidad para estudiar grafos.
Adquirir algunas nociones de la complejidad de los algoritmos deordenación.
Conocer aplicaciones de grafos ponderados y los algoritmos para resolver los problemas de camino más corto y árboles recubridores minimales.

1. Para cada uno de los grafos de la figura, indicar:
a. El grado de cada vértice. Verificar la fórmula que relaciona los grados de vértices con el número de aristas.
b. Identificar los bucles (si existen)
c. Un ciclo en el grafo
d. uncamino de a a c de longitud 3, si existe
e. un ciclo que contenga a g, de longitud par, si existe.
f. los vértices conectados con e
g. todos los caminos simples de e a g.
h. la distancia entre b y cada uno de los vértices











2. ¿Cuántas componentes conexas tienen los grafos G1, G2 y G3? ¿Cuál es el número máximo de aristas que pueden eliminarse de cada uno, manteniendo elnúmero de componentes conexas?
3. a. Escribir la matriz de incidencia de los grafos G1, G2 y G3.
b. Escribir la matriz de adyacencia de los grafos G1, G2 y G3.
4. Un n-cubo es un grafo en el que los vértices se etiquetan con n-uplas de ceros y unos. Una arista conecta dos vértices u y v si las etiquetas de u y v difieren exactamente en un símbolo.
a. Construir el 2-cubo.
b. Construir el 3-cuboc. ¿Es conexo el n-cubo? Justificar.
d. Calcular el número de vértices y de aristas del n-cubo.
5. Dada una colección de conjuntos, el grafo de intersección se define como el que tiene un vértice por cada conjunto, y una arista entre dos vértices que representan conjuntos de intersección no vacía. Representar el grafo de intersección de los conjuntos.
a. A1 = {0,1,2,3,4,5}; A2 = {10, 11,12}; A3 = {1, 5, 10, 15, 20}; A4 = {3, 12, 19}; A5 = {0, 10, 20, 30, 40}; A6 = N = {números naturales}
b. B1 = {nN: n es divisor de 4 mayor que 1} = {2, 4}; B2 = {nN: n es divisor de 6 mayor que 1} = {2, 3, 6}; B3 = {nN: n es divisor de 11 mayor que 1} = {11}; B4 = {nN: n es divisor de 9 mayor que 1} = {3, 9};
c. C1 = {nN: n es múltiplo de 4} = {4, 8, 12, ...}; C2 = {nN: n es múltiplo de6} = {6, 12, 18, ...}; C3 = {nN: n es múltiplo de 11} = {11, 22, 33, ...}; C4 = {nN: n es múltiplo de 9} = {9, 18, 27, ...};
6. Para los siguientes grafos dirigidos, indicar:
a. el grado de entrada y de salida de cada vértice. Verificar la fórmula que relaciona los grados de entrada y salida con el número de aristas.
b. un camino dirigido de e a a, si existe
c. un ciclo dirigido, si existe7. a. Escribir la matriz de incidencia de los digrafos G4 y G5.
b. Escribir la matriz de adyacencia de los digrafos G4 y G5.
8. Dada una lista de sentencias a ejecutar por un programa, un grafo de precedencias es el grafo dirigido donde cada vértice representa una sentencia, y tiene un arco del vértice i al vértice j si la ejecución de j necesariamente debe realizarse después de lasentencia i (porque j depende del resultado de i, o porque j modifica una variable que se usa antes en i). Representar el grafo dirigido correspondiente a cada una de las listas de sentencias:
S1: x := 0
S2: x := x+1
S3: y := 2
S4: z := y
S5: x := x+2
S6: y := x+z
S7: z := 4
S1: x := 0
S2: y := 1
S3: z := x+1
S4: w := x+y
S5: v := w+1
S6: v := z+w

¿Puede hallarse un camino cerradodirigido en los grafos hallados? Justificar la respuesta.
9. Dado el grafo de rutas aéreas G6

a. Dar el número de caminos con 3 tramos entre Buenos Aires y Tucumán.
b. ¿Hay algún ciclo de longitud 4 que incluya a Buenos Aires?
c. ¿Hay algún ciclo que incluya a Mendoza y Corrientes? ¿En caso afirmativo, dé la longitud de cada ciclo hallado.
d. Dé un circuito que incluya Mendoza y Corrientes de...