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UCV. FACULTAD DE INGENIERIA. DEPARTAMENTO DE MATEMATICA APLICADA ÁLGEBRA LINEAL Y GEOMETRIA (0250). Sem 2009-3. 3er Parcial SOLUCION: PARTE I (Selección Simple) Instrucciones: Marque con una X la alternativa que sea correcta. No se exige que justifique sus respuestas. 1. ¿Cuál de las siguientes funciones T : P2 → P2 no es una transformación lineal? ____ a) T(ax2 + bx + c) = ax2+(2b+c)x+(a+b+c)____ b) T(ax2 + bx + c) = (a+b)x2+(a-c) ____ c) T(ax2 + bx + c) = (2a+c)x2+(2b+c)x Justificación Sean P ( x ) = a1 x 2 + b1 x + c1 y Q (x ) = a2 x 2 + b2 x + c 2 pertenecientes a P2 , entonces: __X__ d) T(ax2 + bx + c) = (2a−1)x2+(b-2)x+(c-3)

T (P (x ) + Q (x )) = T (a1 + a2 )x 2 + (b1 + b2 )x + (c1 + c 2 )
2

(

)

= (2(a1 + a2 ) − 1)x + ((b1 + b2 ) − 2)x + ((c1 + c 2 ) − 3) = (2a1 + 2a2− 1)x 2 + (b1 + b2 − 2)x + (c1 + c 2 − 3)
Por otra parte

T (P (x )) + T (Q (x )) = T a1 x 2 + b1 x + c1 + T a 2 x 2 + b2 x + c 2
2

(

) (

)

= (2a1 − 1)x + (b1 − 2 )x + (c1 − 3 ) + (2a 2 − 1)x 2 + (b2 − 2)x + (c 2 − 3 ) = (2a1 + 2a2 − 2)x 2 + (b1 + b2 − 4 )x + (c1 + c 2 − 6 ) Entonces T (P (x ) + Q(x )) ≠ T (P (x )) + T (Q(x )) y por lo tanto T no es transformación lineal.
2. Si

T: M 22 → P2

2 es la transformación lineal definida por T   c d  = (a + b − c + d ) x + (a + d ) x + c ,   

a b 

entonces: ____ a)  0 

1 0   pertenece al Núcleo de T. 1 

____ b) x 2 + x + 1 pertenece al Núcleo de T ____ d)  0 

__X__ c) x 2 + x + 1 pertenece a la Imagen de T Justificación

1 − 1  pertenece a la Imagen de T 0 

2 2 Hallar a, b, c y dtales que T   c d  = (a + b − c + d )x + (a + d )x + c = x + x + 1 , es decir:   

a b 

a =1− d a + b − c + d = 1 b =1  ⇒ a + d = 1 c =1 c = 1  d =d  a b   0 1 a b  2  = Asi, por ejemplo, si d = 1,    1 1 es tal que T  c d  = x + x + 1    c d     

3. Sea B = A t A con A =  

 4 − 3  entonces:  1 0 
____ b) A y B poseen los mismos autovalores.____ d) B no es diagonalizable Ortogonalmente

__X__ a) B es una matriz Diagonalizable. ____ c) Los autovalores de B no son todos reales Justificación

 17 − 12   es una matriz simétrica y toda matriz simétrica es diagonalizable. B = At A =   − 12 0   

 1 − 1 − 1   1  entonces: 4. Sea A =  0 3 0 0 2     1 0 0   __X__ a) La matriz diagonal D =  0 3 0  es 0 0 2  semejante a A.

10 0 0    ____ b) La matriz diagonal D =  0 30 0  es  0 0 20   
Semejante a A.

 1 0 0   2 ____ c) A es semejante a  0 27 0  0 0 8  
Justificación

1 0 0   ____ d) A es semejante a  0 3 0   0 0 2  
2

A de dimensión 3x3 tiene tres autovalores distintos (1,3 y 2), luego A es diagonalizable y por lo tanto semejante a

 1 0 0   la matrizdiagonal D =  0 3 0  . 0 0 2  
5. Dada la cónica rotada de ecuación 5 x 2 + 12 xy − 36 = 0 podemos afirmar que es una: ____ a) Parábola ____ c) Elipse Justificación La matriz asociada al sistema sin términos cruzados es A =   __X__ b) Hipérbola ____ d) Circunferencia

5 6  y sus autovalores son:  6 0 ⇒ λ1 = 9 ∧ λ2 = −4
2 2

5 − λ  det   6

6   = −λ (5 − λ ) − 36 = 0 − λ

⇒ λ2 − 5λ − 36 = 0

Luego la expresión equivalente a la cónica dada, sin términos cruzados viene dada por 9(x ') − 4(y ' ) = 36 . Como los signos de los coeficientes son distintos y el término independiente es diferente de cero, la cónica es una hipérbola.

PARTE II (Desarrollo)

 1 2 3 3   0 1 1 2 1. Sea A =  la matriz asociada a la transformación lineal T : R 4 → P3 ,respecto a las bases 1 1 2 1    1 3 4 5    1   1   1   0           0   1   1   1  B1 =  ;  ;  ;   y la canónica de P3  0   0   1   − 1  0   0   0   1          a   b a) Halle T   c   d   
Opción 1:

2 3 3 0  1 −1 0    1 1 2 0 1 − 1 − 2 −1 = At B1 con B1 =  1 2 1 0 0 1 1     0 0 0 3 4 5 1  ...