niuno

Distancia entre dos puntos
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distanciaentre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema depitágoras.
Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)




d = 5 unidades
Representación gráfica de la distancia entre dos puntos
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Demostración
Sean P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) dospuntos en el plano.
La distancia entre los puntos P1 y P2 denotada por d =  esta dada por:
(1)
En la Figura 1 hemos localizado los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2) así como también el segmento de recta 

Figura 1
Al trazar por el punto P1 una paralela al eje x (abscisas) y por P2 una paralela al eje y (ordenadas), éstas se interceptan en el puntoR, determinado el triángulo rectángulo P1RP2 y enel cual podemos aplicar el Teorema de Pitágoras:

Pero:  ;
 y 
Luego, 

Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugardel sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de pitágoras.
Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)




d = 5 unidades
Punto medio
Coordenadas del puntomedio de un segmento en el plano


Si los puntos extremos extremos de un segmento son A y B:

Las coordenadas del punto medio del segmento coinciden con la semisuma de lascoordenadas de de los puntos extremos.
Ejemplo
El punto medio del segmento AB es:
Coordenadas del punto medio de un segmento en el espacio
Sean A (x1, y1, z1) y B (x2, y2, z2) los extremos de un segmento, el puntomedio del segmento viene dado por:
Ejemplos
1.Dados los puntos A(3, −2, 5) y B(3, 1, 7) , hallar las coordenadas del punto medio del segmento que determinan.



2.Las coordenadas de los vértices consecutivos de un paralelogramo son A (1, 0, 0) y B(0, 1, 0). Las coordenadas del centro M son M(0, 0, 1). Hallar las coordenadas de los vértices C y D.









La recta como lugar geométricoExisten múltiples enfoques de como observar a una (Recta), tanto rigurosos como intuitivos..
De todos ellos, el número uno es el que corresponde al enfoque (Geométrico) y es aquí donde entra la cuestión del (Lugar geométrico).
Generalmente en el caso de la (Recta) en lo que corresponde a un (Lugar geométrico) se le asocia como aquel lugar en el cual existen 2 posiciones y esas son equidistadasa través de una longitud que hemos denominado (Magnitud) de tal manera que la concepción total de todo el entorno es lo que con constituye el (Lugar geométrico) tal como se observa, en la imagen siguiente:

La concepción de la (Recta) como un “Lugar geométrico” puede observarse como una descripción abstracta de representar todo el entorno donde es creado el (Objeto geométrico) sin recurrir...