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Aventuras de un Duende en el mundo de las matemáticas

Ultimo teorema de Fermant

Pelcastre Celis Asher
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Último teorema de Fermat

En teoría de números, el último teorema de Fermat, o teorema de Fermat-Wiles, es uno de los teoremas más famosos en la historia de la matemática. Utilizando la notación moderna, se puede enunciar de la siguiente manera:
Si n esun número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros x, y y z, tales que se cumpla la igualdad:

Nótese que n es un entero mayor que 2, y x, y, z, no nulos. Es decir, ni x=0, ni y=0, ni z=0.
El teorema fue conjeturado por Pierre de Fermat en 1637, pero no fue demostrado hasta1995 por Andrew Wiles ayudado por el matemático Richard Taylor. La búsqueda de una demostración estimuló eldesarrollo de la teoría algebraica de números en el siglo XIX y la demostración del teorema de la modularidad en el siglo XX.

El Último Teorema de Fermat afirma que
xn + yn = zn
no tiene soluciones enteras para x, y y z cuando n < 2. 

Fermat escribió:
“He descubierto una prueba verdaderamente extraordinaria pero este margen es demasiado pequeño para contenerla.”

Casi sin duda Fermat escribió lanota al margen alrededor de 1630, cuando estudió por primera vez laArithmetica de Diofanto. Sin embargo, bien puede ser que Fermat se haya dado cuenta que su prueba extraordinaria era incorrecta, ya que todos sus otros teoremas fueron afirmados y reafirmados en problemas-reto que Fermat envió a otros matemáticos. Aunque los casos especiales para n = 3 y n = 4 fueron formulados como retos(y Fermat sí sabía cómo probarlos) el teorema general nunca fue mencionado de nuevo por Fermat.

De hecho, en toda la obra matemática que dejó Fermat solamente hay una demostración. Fermat prueba que el área de un triángulo rectángulo no pude ser un cuadrado. Esto claramente implica que un triángulo racional no puede ser un cuadrado racional. En símbolos, no existen enteros x, y, z que cumplan

x2 +y2 = z2

y que sean tales que xy/2 sea un cuadrado. De esto es fácil deducir el caso n = 4 del teorema de Fermat.

Vale la pena hacer notar que a partir de este punto faltaba demostrar el Último Teorema de Fermat nada más para las n primas impares. Ya que si existieran enteros x, y, z tales que xn + yn = zn, entonces si n = pq, 

(xq)p + (yq)p = (zq)p.

Euler le escribió a Goldbach el 4 deagosto de 1735 afirmando que tenía una demostración del Teorema de Fermat cuando n = 3. Sin embargo, su demostración en Algebra (1770) contiene una falacia y no es nada fácil dar una prueba alternativa del enunciado falso. Hay una forma directa de arreglar la demostración usando argumentos que aparecen en otras demostraciones de Euler así que puede ser razonable atribuirle el caso n = 3 a Euler.El error de Euler es interesante y hay que entenderlo para los siguientes desarrollos. Necesitaba encontrar cubos de la forma

p2 + 3q2

y Euler demuestra que, para cualquier a y b, si hacemos

p = a3 - 9ab2, q = 3(a2b - b3)

Entonces

p2 + 3q2 = (a2 - 3b2)3.

Esto es verdadero pero después trata de demostrar que, si p2 + 3q2 es un cubo, entonces existen una a y una b talesque p y q son como arriba. Su método es imaginativo, calculando con números de la forma a +b√-3. Sin embargo, los números que tienen esta forma no se comportan del mismo modo que los enteros, de lo cual Euler parece no haberse dado cuenta.

El siguiente adelanto importante lo hizo Sophie Germain. Un caso especial dice que si n y 2n + 1 son primos, entonces xn + yn = zn implica que una de x, y o z es divisibleentre n. Entonces el Último Teorema de Fermat se divide en dos casos.

Caso1: Ni x, ni y, ni z son divisibles entre n.
Caso 2: Una y solo una de x, y o z es divisible entre n.
Sophie Germain demostró el Caso 1 del Último Teorema de Fermat para toda n menor a 100 y Legendre extendió sus métodos para todos los números menores a 197. Hasta ese punto, el Caso 2 no se había demostrado ni...