Norma Vectorial
Páginas: 7 (1705 palabras)
Publicado: 2 de octubre de 2012
FACULTAD POLITÉCNICA - UNIVERSIDAD NACIONAL DE ASUNCIÓN
Cátedra de Métodos Numéricos
Sexto Semestre
Grupo 4
Elena Coronel
Fernando Invernizzi
Richard Zorrilla
3. Norma y Analisis de Errores
3.1 Norma Vectorial
3.2 Norma Matricial
3.3 Numero de Condicion
Año 2012
Índice de Contenido
Norma Vectorial
Definición matemática general
La definición general de norma pretendehacer una generalización a espacios vectoriales abstractos de la noción de módulo de un vector en un espacio euclideo. Se utilizan las propiedades operacionales de la norma euclidiana para extraer las condiciones que debe cumplir la “longitud de un vector”, o norma vectorial, en un espacio vectorial cualquiera. Estas condiciones básicas son:
– Siempre es no negativa e independiente de laorientación de la medición.
– La longitud debe ser directamente proporcional al tamaño
– La longitud entre dos putos será siempre menor o igual que la suma de las longitudes desde esos mismos puntos a un tercero diferente de ellos (desigualdad triangular – la cual es generalizada en la desigualdad de Cauchy-Schwarz)
Esto genera la siguiente definición matemática:
Sea V un espacio vectorial sobre uncuerpo K y x un vector de dicho espacio. Tenemos que ∥.∥:V→ ℝ es un operador que define la norma de x , y escribimos ||x|| si cumple:
1. ∀ x ∈ V su norma ha de ser no negativa, y será cero si y solo si x es el vector cero
2. ∀ x ∈ V y para toda constante k de K, cumple que ∥k x∥=∣k∣.∥x∥
3. ∀ x , y ∈ V se cumple que ∥x + y∥⩽∥x∥+∥y∥
Cualquier operador que cumpla con estas tres condiciones, y encualquier geometría, será un operador de norma.
Así, es posible varios operadores norma que satisfacen la definición matemática general.
Una norma es una función de valor real que proporciona una medida del tamaño o“longitud” de las entidades matemáticas multicomponentes tales como vectores y matrices.
Un ejemplo simple es el de un vector en un espacio euclidiano tridimensional que serepresenta como:
[F]=[a b c ]
donde a, b y c son las distancias a lo largo de los ejes x, y y z, respectivamente. La longitud de este vector (esto es, la distancia de la coordenada (0,0,0) a (a,b,c)) puede simplemente calcularse como:
Fe=a2+b2+c2
donde la nomenclatura ∥F∥e indica que esta longitud está referida como la norma euclidiana de [F].
Un vector es un elemento de un espaciovectorial del que, en ocasiones, interesa conocer su longitud. Para lo cual, se hace necesario definir un operador norma que determine la longitud o magnitud del vector bajo consideración ya que este acto, pese a lo que pueda parecer, no es un problema trivial; especialmente desde la aparición de las geometrías no euclideas.
Norma euclidiana
Ve=i=1nVi2
En un espacio euclidiano ordinario losvectores son representables como segmentos orientados entre puntos de dicho espacio. Dado un vector de un espacio vectorial euclidiano, la norma de un vector se define como la distancia (en línea recta) entre dos puntos A y B que delimitan dicho vector.
Tenemos que en un espacio euclidiano, la norma de un vector coincide precisamente con el modulo del vector.
Normas p
Se representangeneralmente por:
Vp=pi=1n|V|ip
Puede apreciarse que la norma p para p=2, ∥X∥2 , y la norma euclidea son idénticas para Vectores. Con p=1, se tiene la definición de la norma taxicab y con p = ∞ se tiene la norma máxima.
Longitud Manhattan o Norma Taxicab
|V|l =i=1n|Vi|
Empleada en la geometría taxicab, la cual representa la norma como la suma de los valores
absolutos de los elementos.Norma vector uniforme o Norma máxima
|V|∞ =maxVi | 1< i<n
La cual define la norma como el elemento con el valor absoluto mas grande
Ejercicios:
Halle las diferentes normas para V = [ 1 , -8 , 1 , -2 , -4 ]
Norma Euclidiana
V2=12+-82+12+-22+(-4)2=9,273618
Norma p, para p=3
Vp=3|1|3+|-8|3+|1|3+|-2|3+|-4|3=8,36821
Norma Taxicab
Vl=|1|+|-8|+|1|+|-2|+|-4|=16
Norma Vector...
Cátedra de Métodos Numéricos
Sexto Semestre
Grupo 4
Elena Coronel
Fernando Invernizzi
Richard Zorrilla
3. Norma y Analisis de Errores
3.1 Norma Vectorial
3.2 Norma Matricial
3.3 Numero de Condicion
Año 2012
Índice de Contenido
Norma Vectorial
Definición matemática general
La definición general de norma pretendehacer una generalización a espacios vectoriales abstractos de la noción de módulo de un vector en un espacio euclideo. Se utilizan las propiedades operacionales de la norma euclidiana para extraer las condiciones que debe cumplir la “longitud de un vector”, o norma vectorial, en un espacio vectorial cualquiera. Estas condiciones básicas son:
– Siempre es no negativa e independiente de laorientación de la medición.
– La longitud debe ser directamente proporcional al tamaño
– La longitud entre dos putos será siempre menor o igual que la suma de las longitudes desde esos mismos puntos a un tercero diferente de ellos (desigualdad triangular – la cual es generalizada en la desigualdad de Cauchy-Schwarz)
Esto genera la siguiente definición matemática:
Sea V un espacio vectorial sobre uncuerpo K y x un vector de dicho espacio. Tenemos que ∥.∥:V→ ℝ es un operador que define la norma de x , y escribimos ||x|| si cumple:
1. ∀ x ∈ V su norma ha de ser no negativa, y será cero si y solo si x es el vector cero
2. ∀ x ∈ V y para toda constante k de K, cumple que ∥k x∥=∣k∣.∥x∥
3. ∀ x , y ∈ V se cumple que ∥x + y∥⩽∥x∥+∥y∥
Cualquier operador que cumpla con estas tres condiciones, y encualquier geometría, será un operador de norma.
Así, es posible varios operadores norma que satisfacen la definición matemática general.
Una norma es una función de valor real que proporciona una medida del tamaño o“longitud” de las entidades matemáticas multicomponentes tales como vectores y matrices.
Un ejemplo simple es el de un vector en un espacio euclidiano tridimensional que serepresenta como:
[F]=[a b c ]
donde a, b y c son las distancias a lo largo de los ejes x, y y z, respectivamente. La longitud de este vector (esto es, la distancia de la coordenada (0,0,0) a (a,b,c)) puede simplemente calcularse como:
Fe=a2+b2+c2
donde la nomenclatura ∥F∥e indica que esta longitud está referida como la norma euclidiana de [F].
Un vector es un elemento de un espaciovectorial del que, en ocasiones, interesa conocer su longitud. Para lo cual, se hace necesario definir un operador norma que determine la longitud o magnitud del vector bajo consideración ya que este acto, pese a lo que pueda parecer, no es un problema trivial; especialmente desde la aparición de las geometrías no euclideas.
Norma euclidiana
Ve=i=1nVi2
En un espacio euclidiano ordinario losvectores son representables como segmentos orientados entre puntos de dicho espacio. Dado un vector de un espacio vectorial euclidiano, la norma de un vector se define como la distancia (en línea recta) entre dos puntos A y B que delimitan dicho vector.
Tenemos que en un espacio euclidiano, la norma de un vector coincide precisamente con el modulo del vector.
Normas p
Se representangeneralmente por:
Vp=pi=1n|V|ip
Puede apreciarse que la norma p para p=2, ∥X∥2 , y la norma euclidea son idénticas para Vectores. Con p=1, se tiene la definición de la norma taxicab y con p = ∞ se tiene la norma máxima.
Longitud Manhattan o Norma Taxicab
|V|l =i=1n|Vi|
Empleada en la geometría taxicab, la cual representa la norma como la suma de los valores
absolutos de los elementos.Norma vector uniforme o Norma máxima
|V|∞ =maxVi | 1< i<n
La cual define la norma como el elemento con el valor absoluto mas grande
Ejercicios:
Halle las diferentes normas para V = [ 1 , -8 , 1 , -2 , -4 ]
Norma Euclidiana
V2=12+-82+12+-22+(-4)2=9,273618
Norma p, para p=3
Vp=3|1|3+|-8|3+|1|3+|-2|3+|-4|3=8,36821
Norma Taxicab
Vl=|1|+|-8|+|1|+|-2|+|-4|=16
Norma Vector...
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