Normas

Pr o b le m a s r e sue lt o s d e o p t im iz a ció n d e func io ne s

1
Ob te ne r el triángulo i s ó s c e le s de área máxima inscrito en un

círculo de radio 12 cm.

2
U n t r i á n g u l o i s ó s c e l e s d e p e r ím e t ro 3 0 c m , g i r a a l re d e d o r d e s u a l t u r a e n g e n d r a n d o u n c o n o . ¿ Q u é v a l o r d e b e d a rs e a l a b a s e p a ra q u e e lvolumen de l c ono se a má ximo?

3
S e p re t e n d e f a b r i c a r u n a l a t a d e c o n s e r va c i l í n d r i c a ( c o n t a p a ) d e 1 l i t r o d e c a p a c id a d . ¿ C u á l e s d e b e n s e r s u s d im e n s i o n e s p a r a q u e s e u t i l i c e e l m í n im o p o s i b le d e m e t a l ?

4
De sc omp one r el núme ro 44 en d os sumand os tales q ue el

q u í n tu p l o d e l c u a d r a d o d e l p r im e ro m á s e l s é x t u p l o d e l c u a d ra d o d e l s e g u n d o s e a u n m í n im o .

5
Se tie ne un a lamb re d e 1 m de long itud y s e d e sea d ivid irlo e n d o s t r o z o s p a ra f o r m a r c o n u n o d e e l l o s u n c í r c u l o y c o n e l o t ro u n c uad rad o. De te rmina r la long itud q ue s e ha de da r a c ad a uno delos

trozos pa ra que la s uma de las á rea s del c írc ulo y de l cuad rad o se a mínima.

6
Hallar las d ime ns iones del mayor rectángulo inscrito en un

t r i á n g u l o i s ó s c e le s q u e t i e n e p o r b a s e 1 0 c m y p o r a l t u ra 1 5 c m .

A l t e n e r d o s t r i á n g u l o s s e m e j a n t es s e c u m p le q u e :

7
Hallar las d im e n s i o n e s q ue hace n m ín i m o el coste de un

c o n t e n e d o r q u e t ie n e f o r m a d e p a r a le l e p í p e d o r e c t a n g u la r s a b i e n d o q u e s u v o l u m e n h a d e s e r 9 m 3 , s u a l t u ra 1 m y e l c o s t e d e s u c o n s t r u c c i ó n p o r m 2 e s d e 5 0 € p a ra l a b a s e ; 6 0 p a r a l a e t a p a y 4 0 p a ra c a d a p a re d l a t e ra l .

8
R e c o rt a n d oc o n v e n i e n t e m e n t e e n c a d a e s q u i n a d e u n a l á m i n a d e c a r t ó n d e d i m e n s i o n e s 8 0 c m x 5 0 c m u n c u a d ra d o d e l a d o x y d o b la n d o c o n v e n i e n t e m e n t e ( vé a s e f i g u ra ) , s e c o n s t r u y e u n a c a j a . C a l c u l a r x p a ra q u e v o l u m e n d e d i c h a c a j a s e a m á x im o .

9
U n a h o j a d e p ap e l d e b e t e n e r 1 8 c m 2 d e t e x t o i m p r e s o , m á rg e n e s s u p e r i o r e i n f e r i o r d e 2 c m d e a l t u ra y m á r g e n e s l a t e ra l e s d e 1 c m d e a nc hura. Ob te ne r ra z o n a d a m e n t e las d im e n s i o n e s q ue minimizan la

superficie del papel.

10
E l b e n e f i c i o n e t o m e n s u a l , e n m i l l o n e s d e e u r o s , d e u na e m p re s a q u e f a b r ic a a u t o b u s e s v i e n e d a d o p o r l a f u n c i ó n :

B(x)= 1.2x − (0.1x)3

d ond e x e s e l núme ro d e autob us es fab ric ad os e n un mes .

1 . Ca lc ula la p rod ucc ión me ns ua l q ue hace n má ximo e l b ene fic io. 2 . E l b e n e f i c i o m á x i m o c o r re s p o n d i e n t e a d i c h a p r o d u c c i ó n .

11
U n a h u e r ta t i e n e a c t u a lm e n t e 2 5 á r b o l e s , q u e p ro d u c e n 60 0 f r u t o s cada uno. Se calcula q ue por cada árbol ad ic iona l p lantad o, la

p r o d u c c i ó n d e c a d a á rb o l d is m i n u ye e n 1 5 f r u t o s . C a l c u l a r :

1 . L a p ro d u c c i ó n a c t u a l d e l a h u e r t a .
P r o d u c c i ó n a c t u a l : 2 5 · 60 0 = 1 5 . 0 0 0 f r u t o s .2 . L a p r o d u c c i ó n q u e s e o b t e n d r í a d e c a d a á rb o l s i s e p l a n t a n x
á r b o le s m á s .

S i s e p l a n t a n x á r b o l e s m á s , l a p r o d u c c i ó n d e c a d a á rb o l s e rá : 600 − 15 x.

3 . La p rod ucc ión a la q ue a sc ende ría e l t ot a l de la hue rta s i s e
p l a n t a n x á rb o l e s m á s .

P ( x ) = ( 2 5 + x ) ( 6 0 0 − 1...