Notas

Moisés Villena Muñoz

Cónicas

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3.1 3.2 3.3 3.4 Circunferencia Parábola Elipse Hiperbola

Objetivos.

Se persigue que el estudiante: • Identifique, grafique y determine los elementos de una cónica conociendo su ecuación general. • Dado elementos de una cónica encuentre su ecuación. • Resuelva problemas de aplicación empleando teoría de cónicas

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CónicasLas cónicas o también llamadas secciones cónicas se presentan cuando un doble cono se interseca con planos.

No estamos interesados en los lugares geométricos de , 2 estudiaremos las curvas de intersección de estas superficies pero en . Se obtendrán las ecuaciones de definiciones directamente en el plano cartesiano. Descubriremos que la ecuación de una cónica, tiene la forma: Ax 2 + By 2 + Cx+ Dy + Exy + F = 0 Con A ≠ 0 ó B ≠ 0 ó ambos, y E = 0 .

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3.1. Circunferencia
3.1.1. Definición.
Sea O un punto del plano y sea “ r ” un número real positivo. Se define la circunferencia como el conjunto de puntos P ( x, y ) tal que la distancia de P a O es igual a “ r ”. Es decir:

Circunferencia = { P ( x, y ) / d ( P, O) = r}
Al punto “ O ” se le denomina centro de la circunferenciay a “ r ” se le denomina radio de la circunferencia.

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3.1.2. Ecuación canónica de la circunferencia
Supongamos que O tiene coordenadas ( h, k )
y

P (x, y )

r

O(h, k )

x

La distancia entre los puntos P ( x, y ) de la circunferencia y el punto

C (h, k ) , la cual denotamos como “ r ”, está dada por r = ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 ,entonces, tenemos:

( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2

Ecuación canónica de una circunferencia. Para r 2 > 0 .

Un tipo especial de circunferencia es aquella que tiene por ecuación:

x2 + y2 = r 2
Es decir, una circunferencia con centro O (0,0) , el origen:
y

y = x2 − r 2

O (0,0 )

x

r

y = − x2 − r 2

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Despejando y , obtenemos lasecuaciones de las semicircunferencias superior e inferior. Ejemplo
Hallar la ecuación canónica de la circunferencia que tiene centro el punto O ( 4, 2 ) y radio 3 SOLUCIÓN: Reemplazando en ( x − h) 2 + ( y − k ) 2 = r 2 tenemos:
( x − 4) 2 + ( y − 2) 2 = 32 ( x − 4) 2 + ( y − 2) 2 = 9

La ecuación canónica pedida.

la ecuación canónica del ejemplo anterior ( x − 4) + ( y − 2) = 3 , al elevar alcuadrado y reducir términos semejantes se obtiene:
2 2 2

Ahora,

en

x 2 − 4 x + 16 + y 2 − 4 y + 4 = 9 x 2 + y 2 − 4 x − 4 y + 16 + 11 = 0
Se puede decir, entonces que la ecuación de una circunferencia tendrá la forma:

x 2 + y 2 + C´x + D´ y + F´= 0
O también:

Ax 2 + Ay 2 + Cx + Dy + F = 0
Esta última ecuación es llamada CIRCUNFERENCIA. ECUACIÓN GENERAL DE UNA

Por tanto si nuestraintensión fuese dibujar la circunferencia o descubrirle sus elementos (centro y radio) a partir de la ecuación general, deberíamos llevar la ecuación a su forma canónica completando trinomios cuadrados perfectos.

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Ejemplo
Graficar la circunferencia que tiene por ecuación x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 12 = 0 Solución La ecuación general dada, la transformamosa la ecuación canónica completando cuadrados

(x

2

− 4 x + 4 + y 2 + 6 y + 9 = 12 + 4 + 9
2 2

) (

)

( x − 2) + ( y + 3) = 25

Tenemos una circunferencia de radio r = 5 y centro C (2,−3)

r =5
C (2,−3)

No toda ecuación de la forma representará una circunferencia.

Ax 2 + Ay 2 + Cx + Dy + F = 0

Si en el proceso de llevarla a la forma canónica se obtiene r 2 = 0 , es 22 decir resulta ( x − h) + ( y − k ) = 0 , el lugar geométrico es el punto O ( h, k ) . ¿Por qué? Si r 2 < 0 , la ecuación no representa lugar geométrico. ¿Por qué? Ejemplo
Hallar la ecuación canónica de la circunferencia que contiene a los puntos (1, 2 ) ,

( 3, 0 ) y ( 3 +

3,3

)

Solución: Si los puntos pertenecen a la circunferencia deben satisfacer su ecuación. En este caso...