notas

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SEMÁNTICA DE PROPOSICIONES
Validez e implicación
Consideramos las proposiciones siguientes:
(1)(2)
(3)

7 es un número primo,
9 es un número primo,
x es un número primo.


Se verá que la primera es verdadera, la segunda falsa, en tanto que la tercera no es verdadera ni falsa.

Las proposiciones que contienen variables son llamadas en matemáticas, condiciones.
Examine los dos grupos de condiciones siguientes.

(A)

x es un número primo,
x2 + 3 = 4x,
x+y

(B)(x+1)2 = x2 + 2x +1,
x2 + y2 ,
x+y


Se observará que las condiciones del grupo (A) resultan verdaderas solamente para ciertos
valores de las variables, en tanto que las del grupo (B) resultan siempre verdaderas, cualesquiera
que sean los valores asignados a las variables. Condiciones de este último tipo reciben el nombre
de válidas, entre ellas figuran todas las identidades del álgebraelemental.

Decimos que es un proposición es válida si resulta verdadera para toda combinación de
valores que se asigne a sus variables.

Para decidir si una proposición es válida o no, debe aclararse previamente cuál es el dominio convenido para cada una de las variables que figuran en la proposición. Por ejemplo, la
condición:
(4) x2 ≥ x

 Es válida si tomamos como dominio, de la variable“x”, el conjunto de los números enteros.
En cambio, no lo es si el dominio de “x” es el conjunto de los números reales.

La definición de validez que hemos presentado es aplicable a una condicional únicamente
cuando se dispone de un criterio que permita decidir si son verdaderas o falsas las condicionales
que resultan de aquélla al asignar a las variables valores particulares de susrespectivos dominios.

Por ejemplo, para la validez de la condicional:
(5) Si x > 10 entonces x > 5

Se requiere que sean verdaderas todas las proposiciones que resultan de (5) al dar valores particulares a la “x”. En particular, deben ser verdaderas las tres condicionales siguientes:
(5´) Si 11 > 10 entonces 11 > 5
(5´´) Si 8 >10 entonces 8 > 5
(5´´´) Si 3 > 10 entonces 3 > 5

Enmatemáticas, el criterio que se sigue para determinar la validez o no validez de una
condicional, no consiste en ver si son verdaderas todas las condicionales resultantes de aquélla al
asignar valores a las variables. El criterio que se sigue es más bien el siguiente:

Se dice que una condicional es válida si toda combinación de valores de las variables que
verifica a la hipótesis verifica tambiéna la tesis.

De acuerdo con este criterio, la condicional (5) es válida, y también lo son las dos siguientes:
(5) Si x = y entonces x – y = 0.
(6) Si x es múltiplo de 4 entonces x es par.

Si el lector forma las reciprocas de las condicionales (5), observará que solamente una de
ellas es válida.

En cambio, las contrapuestas de (5), (6) y (7), son todas válidas. Esto último no es unhecho casual, sino consecuencia de la siguiente ley de contraposición:
Si una condicional es válida, también lo es su contrapuesta.
Para probar esto, supongamos que la condicional:
Si P entonces Q
es válida. Esto quiere decir que toda combinación de valores de las variables que verifica a P,
verifica también Q. Por lo tanto, toda combinación de valores de las variables que falsifica a Q,Falsifica también a P. Es decir, toda combinación que verifica a ˜Q, verifica también a ˜ P. Luego
es válida la contrapuesta:
S ˜Q entonces ˜ P.


Para indicar la validez de una condicional con hipótesis P y tesis Q, se emplea en matemática cualquiera de los seis giros siguientes:
(I1)
(I2)
(I3)
(I4)
(I5)
(I6)

P implica a Q.
De P se sigue Q.
Q es consecuencia de P
Q se...