Numero Complejos

1
~

NUMERaS

COMPLEJOS

COMPETENCIA ESPECfFICA A DESARROLLAR
Manejar los números complejos y las diferentes formas de representarlos, así como las operaciones entre ellos para tener una base de conocimiento a utilizar en ecuaciones diferenciales y
en diferentes aplicaciones de ingeniería.

Considere el problema de encontrar las raíces de los polinomios
l.}

+ bA + e =

°

Paraencontrar las raíces, se utiliza la fórmula cuadrática

A=

-b +~b2 -4c

-

(1)
y

se obtiene

(2)

2

Si b2 - 4c > 0, existen dos raíces reales. Si b2 - 4c = 0, se obtiene una sola raíz (de multiplicidad
2) A = -b/2. Para manejar el caso b2 - 4c < 0, se introduce la unidad ímaginarla.'

•
t

El término imaginario no debe ser una preocupación. Es sólo un nombre. Elmatemático Alfred North Whitehead, en
el capítulo sobre números imaginarios de su libro Introduction to Mathematics, escribió:
En este punto, puede ser útil observar que cierto tipo de intelecto se preocupa siempre y preocupa a otros sobre
la aplicabilidad de los términos técnicos. ¿Es adecuado denominar números a los numeras inconmensurables? ¿Son
realmente numeras los números positivos y negativos?¿Son imaginarios los numeras imaginarios, y son números?
Éstos son ejemplos de preguntas estériles. No puede entenderse con suficiente claridad que, en la ciencia, los términos
técnicos son nombres asignados de manera arbitraria, como los nombres cristianos a los niños. No puede ponerse en
duda si los nombres están bien o mal. Pueden ser o no prácticos o sensibles; en ocasiones puede ser sencillorecordarlos, o ser tales que sugieran ideas relevantes o importantes. Pero el principio esencial fue enunciado con mucha
claridad en Alicia en el país de las maravillas por Humpty Dumpty, cuando le dijo a propósito de su uso de las palabras,
"les pago más y las hago tener el significado que yo quiero", Así que no nos preocuparemos por si los números Imaginarios son imaginarios o son números,tomaremos la frase como el nombre arbitrario de cierta Idea matemática,
que intentaremos ahora aclarar.

2

UNJ(}AD

1

Números complejos

=..r-I

i

de manera que i2

=-

1. Entonces para b2

4c

-

(3)

O

si a = O Y f3

'TT

>O
(9)

sia=Oyf3O

+ tan -1 ~ si a < O Y f3 < O
a

(lO)

arg O no está definido

De la figura 1.4 se ve que

1:21

=

[z](11)

y

-

arg z = -arg

z

Si

(12)

6

UNIDAD

1

Números complejos

Irnz

Figura 1.4

z

-~-

....•.•
---~

o

z

Arg = -arg z.

Re z

Se pueden utilizar [z]y arg z para describir lo que a menudo es una representación más conveniente para los números complejos.' De la figura 1.3 es evidente que si z = a + i{3, r = [z]y 8 =
arg z, entonces

a

=r cos 8

y

{3= r sen 8

(13)

Se verá al final de este apéndice que

ei6

Como cos (-8)

=

cos 8 + i sen 8

(14)

= cos 8 y sen (-8) = -sen 8, también se tiene

e-i6

=

cos (-8)

+ i sen (-8)

=

cos 8 - i sen 8

La fórmula (14) se denomina identidad de Euler.t Si se utiliza la identidad de Euler
(13), se tiene
z= a

(14')

y

la ecuación

+ i{3 = rcos 8 + ir sen 8 = r( cos 8 + i sen 8)

o sea,

(15)

FORMA POLAR

La representación (15) se denomina forma polar del número complejo z.

•
t

¡

Al lector que haya estudiado coordenadas polares esta representación le parecerá familiar.
Recibe este nombre en honor del gran matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783).

Números complejos

7

y =Imz

~FR"
a)

Figura 1.5Seis puntos en el plano
complejo

b)

e)

y = Imz

y = Imz

y = Imz
-2
x = Re z

---+:0""""'''''

+ ~~
,
,
,

27T
=

-f'---'-- ..•. = Re z
x
o

EJEMPLO

5

Determine
v) -1 -.

----'-,
-t--..•. = Re z
x

-5i

-1-5i

d)

3

i

7i

-2 O

-2i

f)

e)

las formas polares de los siguientes números complejos:

i) 1, ii) -1, ili) i, iv) 1...