Numero De Condicion

METODOS NUMERICOS APLICADOS
NUMERO DE CONDICION
1. NORMAS MATRICIALES
Sea la funciónA la norma de la matriz A, si y solo si cumple las siguientes propiedades:

a) A>0
b) A=0 → A=0
c) cA= cA para todo numero c
d) A+B≤ A+ B para todas las matrices A y B
e) AB ≤ A B para todas las matrice A y B de nxn

2.1. NORMAS DE HOLDER

La norma de Holderesta definida por:
Ap= i=1nAp1p
2.2.1. Con p = 1, obtenemos la norma 1
A1= max1≤j≤ni=1nA
Que es el máximo valor de la suma de los elementos de las columnas de la matriz.
2.2.2. Con p = 2, tenemos la norma de Frobenius.
A2= i,j=1nA212
Que es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los elementos de la matriz.
2.2.3. La norma ∞

A∞= max1≤n≤nj=1nA
Quees el máximo valor de la suma de los elementos de las filas de la matriz.
2.2.4. Ejemplo
Dada la matriz A encontrar las normas.

A= 1212-11101

A1=max1+2+1,2-1+0,1+1+1=4
A2=1+4+1+4+1+1+1+0+1=14
A∞=max1+2+1,2-1+1,1+0+1=4

2. NUMERO DE CONDICION
3.2. INTRODUCCIÓN
Para ver un concepto del número de condición, primero, consideramos el sistema de ecuaciones lineales: Ax= b; en este caso el sistema tiene que tener una solución por tanto debe ser A una matriz invertible, en donde llamamos v el conjunto solución del sistema; si se afecta los elementos de A o de b, tenemos un nuevo sistema en el que al conjunto solución lo llamaremos v; necesitamos saber cuánto varia la solución del sistema original con la solución del sistema perturbado de solución v.
Paraesto, la matriz que sufre la perturbación tiene los siguientes cambios:
La solución v es igual a v+∆v, el vector de términos independientes b, en la matriz perturbada será igual a b+∆b, de este modo la ecuación perturbada quedaría de la siguiente manera:
Av+∆v=b+ ∆b (1)
De (1), si desarrollamos las operaciones de la ecuación tenemos lo siguiente:
A*v+A*∆v=b+ ∆b
de donde tenemos que:
A*∆v=∆b (2)
en la ecuación (2), si despejamos ∆v, nos da lo siguiente:
∆v=A-1*∆b (3)

Si tomamos una norma vectorial y la norma matricial subordinada, entonces:
∆v≤A-1∆b (4)
b≤Av (5)
la expresión (5), podemos dejarla se la siguiente manera:
1u≤Ab
Si combinamos esta última expresión con (5), nos resulta:
∆uu≤AA-1∆bb (6)
Podemos ver que la variación en el error relativo está relacionada con elvalor que nos da la expresión: AA-1.
3.3. DEFINICION DE NUMERO DE CONDICION
Si A es la norma de una matriz, y además A es invertible; entonces el número| de condición de la matriz A esta dado por:
kA=AA-1
3.4. ANALISIS DE SENSIBILIDAD DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES ALGEBRAICAS
En el sistema Ax = b; para A no singular, con un conjunto solución v, y además la ecuaciónperturbada Ax+∆x=b+ ∆b; con una conjunto solución v+∆v, tenemos por (6):
∆uu≤k(A)∆bb
Donde k(A) tiende a ser infinito si A es singular, además podemos decir por la expresión anterior, que el numero de condición, es una medida de sensibilidad en la solución del sistema lineal Ax = b; ante cambios en el vector de términos independientes b.
Teorema. Si A es una matriz no singular entonces su numero decondición es mayor o igual que 1.
Demostración
De antemano sabemos que A*A-1=I; entonces:
A*A-1=1
A*A-1≤AA-1
A*A-1≤kA=1
Teorema. Para A no singular y además Ax+∆x=b+ ∆b, y Ax=b. Entonces:
∆xx=k(A)(∆bb+∆AA)
Demostración:
Si parametrizamos todo con respecto a t, y luego derivamos tenemos:
At=A+t∆A
bt=b+t∆b)
xt=x+t∆x
At*xt=bt
A,t*xt+At*x,t=b,(t)
∆A*xt+At*∆x=∆b
Evaluando en x = 0:∆x=A-1*∆b-A-1*∆A*x
∆x≤A-1∆b+A-1∆bx
∆xx≤A-1∆bAxA+AA-1∆AA
∆xx≤kA*∆bb+∆AA

Con este teorema podemos afirmar que si kA es >>1, el sistema esta mal condicionado, y esta bien condicionado cuando kA, tiene valores cercanos a 1.
3. ANALISIS DE MATRICES MAL CONDICIONADAS
Un sistema bien condicionado es aquel en que un pequeño cambio, en uno o mas coeficientes provoca un cambio pequeño en la...