Numeros Cardinales

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (San Petersburgo, 3 de marzo de 1845 - Halle, 6 de enero de 1918) fue un matemático alemán, inventor con Dedekind y Frege de la teoría de conjuntos, que es la base de las matemáticas modernas. Gracias a sus atrevidas investigaciones sobre los conjuntos infinitos fue el primero capaz de formalizar la noción de infinito bajo la forma de los números transfinitos(cardinales y ordinales).
Vivió aquejado por episodios de depresión, atribuidos originalmente a las críticas recibidas y sus fallidos intentos de demostración de la hipótesis del continuo, aunque actualmente se cree que poseía algún tipo de "depresión ciclo-maníaca".[1] Hoy en día, la comunidad matemática reconoce plenamente su trabajo, y admite que significa un salto cualitativo importante enel raciocinio lógico.
El cardinal indica el número o cantidad de elementos de un conjunto, sea esta cantidad finita o infinita. Los números cardinales constituyen una generalización interesante del concepto de número natural, permitiendo comparar la cantidad de elementos de conjuntos infinitos. Dado un conjunto , el cardinal de este conjunto se simboliza mediante , , o . Por ejemplo: si A tiene 3elementos el cardinal se indica así: |A| = 3.
El concepto de número cardinal fue desarrollado y propuesto por Georg Cantor, en 1874, quien lo amplió a conjuntos infinitos, ya que para conjuntos finitos el concepto de cardinal es trivial.

Primero estableció el concepto de cardinalidad como una herramienta para comparar conjuntos finitos. Por ejemplo, los conjuntos {1,2,3} y {2,3,4} no soniguales pero tienen la misma cardinalidad, llamada tres.
Cantor definió el conteo usando la correspondencia biunívoca, la cual mostraba fácilmente que dos conjuntos finitos tenían la misma cardinalidad si había una relación biyectiva entre sus elementos. Esta correspondencia uno a uno le sirvió para crear un concepto de conjunto infinito, el cual posee todos sus elementos relacionados de formabiyectiva con el conjunto de números naturales (N = {1, 2, 3, ...}).
Nombró el cardinal de : . Incluso probó que varios conjuntos infinitos formados por naturales (como los pares) tienen cardinalidad , debido a que era posible establecer la relación biunívoca con N.
Propiedades del cardinal de un conjunto
Los conjuntos pueden ser divididos en clases de equivalencia definidas en función de larelación de equivalencia que incluye a un par de conjuntos si y sólo si entre éstos existe una biyección. Cardinalidad de un conjunto sería la clase de equivalencia a la cual éste pertenece. Tener dos conjuntos con la misma cardinalidad (o sea, que pertenezcan al mismo cardinal) se denota:
o bien
La existencia de una función inyectiva entre dos conjuntos también define una relación de orden entresus cardinales; es decir:

La relación excluye la posibilidad que los cardinales sean iguales.
y esto implica que
El cardinal del conjunto vacío se denota convencionalmente como 0 (cero) y contiene al único conjunto vacío:

El primer cardinal infinito (en el sentido de que sus representantes son conjuntos infinitos) es el cardinal de los naturales, y se denota usualmente por . Se puedetambién demostrar que existe una función biyectiva entre los ordinales y los cardinales de conjuntos infinitos, tal que preserva el orden en ambos conjuntos (el orden de los ordinales y el - -orden en los cardinales). Esta función, llamada , induce un buen orden en los cardinales, y de aquí proviene la notación para el primer cardinal infinito, para el siguiente, etc.
Cardinal del conjuntopotencia Existe una relación entre el cardinal de un conjunto y el conjunto de partes o conjunto potencia:

Donde es el cardinal del conjunto de partes.
Cardinales transfinitos. Número transfinito.
Los números cardinales de algunos conjuntos se representan con símbolos especiales:
* El cardinal de los números reales: ;
El cardinal de los números naturales: (Alef-0).
* El cardinal...