Numeros Complejos Sumas, Restas, Multiplicación Y División

“SINTESIS DE NUMEROS COMPLEJOS SUMAS, RESTAS, MULTILPICACION, DIVISION”
UNIDAD 1
Instituto Tecnológico De Cancún
ASIGNATURA: Algebra Lineal
Fecha: 10 de septiembre del 2012

INTRODUCCION
La síntesis que se presentara a continuación contiene todos los temas que desarrollamos a lo largo de la unidad uno. El trabajo comprende desde la definición de los números complejos hasta operaciones yecuaciones en sus diferentes formas.
E principal objetivo del trabajo buscar una mejor compresión de los números complejos y todo lo relacionado a ellos
En las siguientes páginas se definirá de manera más clara y detallada cada uno de los temas antes mencionados, esperando que puedan ser de fácil comprensión.

INDICE
1.1 DEINICION DE NUMEROS COMPLEJOS
1.2 OPERACIONES CONFUNDAMENTALES
1.3 POTENCIAS DE i, MODULO O VALOR ABSOLUTO
1.4 FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE NUMERO COMPLEJO
1.5 TEOREMA DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCION DE RAICES
1.6 ECUACIONES POLINOMICAS

1.1Definición y origen
Un número complejo o imaginario es un par ordenado de números reales a+bi, donde a es la parte real y bi es la parte imaginaria, tanto a como b son realese i=-1
 El origen de los números complejos se remonta al siglo XVI en que Cardano llamó raíz ficticia a las raíces negativas de una ecuación. Otros matemáticos posteriormente las llamaron raíces falsas o raíces sordas. En 1572 Rafael Bombelli señaló que eran necesarias las cantidades imaginarias para resolver ecuaciones algebraicas que tuvieran la forma x2+c=0, donde c es cualquier numeropositivo. El brillante matemático Leonhard Euler designó por ia-1. El símbolo i expresa de forma precisa una idea abstracta, ya que se puede preguntar ¿existe algún número que se multiplique por sí mismo y de -1?. Los números complejos se pueden graficar en el plano complejo creado por el gran matemático Gauss, quien colocó en el eje x la parte a y en el eje y la parte bi, es decir, el eje x o el ejereal(Re) representa la parte de un número complejo y el eje y o el eje imaginario(Im) la parte imaginaria bi del número complejo.

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos
Suma:
Para sumar dos números complejos se suma primero la parte real del primer número con la parte real del segundo. Luego se suma la parte imaginaria del primer número con la parte imaginaria del segundo. Enforma de ecuación queda como sigue:
Ejemplo: (4+2i)+(3+2i)=4+2i+3+2i=4+3+2i+2i=(4+3)+(2i+2i)=7+4i

Resta:
Se le resta a la parte real del primer número la parte real del segundo. Luego se resta a la parte imaginaria del primer número la parte imaginaria del segundo. En forma de ecuación queda como sigue:
(a-bi)-(c-di)=(a-c)+(bi-di)=a-c+bi-di
Ejemplo
(4+7i)-(6+3i)=(4-6)+(7i-3i)=-2+4iMultiplicación:
Para multiplicar dos números complejos se procede a multiplicar como si se tratase del producto de dos binomios. Uno de los términos tendrá i2, donde i2 es equivalente a:

Ejemplo:
(4+12i).(3+2i)=12(4.2i)+(2i.3)+(2i.2i)=(12-4)+14)i=8+14

División:

Para dividir dos números complejos se multiplican el numerador y el denominador por el conjugado del denominador.

1.3 Potenciasde i, modulo o valor absoluto de un numero complejo

Potenciación de i:
Tomando en cuenta que , se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número i o unidad imaginaria, definido como

De donde se deduce inmediatamente que,

Formula general:
i 4p=1
i4p+1=i
i4p+2=-1
i4p+3=-i
Modulo o valor absoluto:

El valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo zviene dado por la siguiente expresión:

Si pensamos en las coordenadas cartesianas del número complejo z como algún punto en el plano; podemos ver, por el teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde el origen del plano a dicho punto.
Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r eiφ, entonces |z| = r. Se puede expresar...