Numeros complejos

1 NUMEROS COMPLEJOS

1.1 Definición y origen de los números complejos.

Todo número complejo (o imaginario) es una expresión de la forma a+bi donde a es la parte real y bi es la parte imaginaria. Tanto a como b son reales, e i=-1 .

Los números complejos aparecen al tratar de resolver ecuaciones del tipo x2+ 1=0. Despejando a x se obtiene x=-1 , que seescribe x=i .

El origen de los números complejos se remonta al siglo XVI en que Cardano llamó raíz ficticia a las raíces negativas de una ecuación. Otros matemáticos posteriormente las llamaron raíces falsas o raíces sordas.

En 1572 Rafael Bombelli señaló que eran necesarias las cantidades imaginarias para resolver ecuaciones algebraicas que tuvieran la forma x2+c=0.,donde c es cualquier número positivo.

El brillante matemático Leonhard Euler designó por i a -1 . El símbolo i expresa en forma precisa una idea abstracta, ya que se puede preguntar ¿Existe algún número que se multiplique por sí mismo y de -1 ?

Los números complejos se pueden graficar en el plano complejo creado por el gran matemático Gauss, quien colocó en el eje x la parte a, yen el eje y la parte bi , es decir, el eje x o eje real (Re) representa la parte real de un número complejo y el eje y o eje imaginario (Im) la parte imaginaria bi del número complejo. Otra forma de representar un número complejo es el par real a,b .
Im

b .a, b0, 0 a Re

Gráfica 1: Representación del número complejo (a+bi).
 
De acuerdo a la gráfica anterior los números reales están contenidos en los números complejos, ya que en el plano R2 el número complejo a,0 coincide con el número real a, donde a∈R. En el casode los números complejos de la forma 0,b son llamados imaginarios puros.

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.

Los números complejos cumplen las reglas del álgebra ya que se pueden sumar, restar, multiplicar, dividir (excepto la división por 0+0i). Antes de ver la suma de números complejosescribiremos en función de i diferentes expresiones:

1. -9=9-1=9-1=3i , recordar que -1=i

2. -4-4=-8=8(-1)=4(2)(-1)=42-1=22i Es 2i NO 2i

3. -104+23=-81=81(-1)=81-1=9i

4. 5-16=516-1=516-1=5∙4∙i=20i

5. -36+9-49 =36-1+949-1=36-1+949-1=6∙i+9∙7∙i
-36+9-49 =6i+63i=69i

6. -3-32=-316(2)-1=-3162-1=-3∙4∙2i=-122i Es 2i NO 2i

7. 4-50=450-1=425(2)-1=4252-1=4∙52i=202i Es2i NO 2i

8. 6-18=618-1=69(2)-1=692-1=6∙32i=182i Es 2i NO 2i

9. -9-128=-9128-1=-964(2)-1=-9642-1=-9∙82i=-722i

Con los resultados de los ejercicios 7, 8 y 9 resuelva el ejercicio 10.

10. 4-50+6-18-9-128=202i+182i-722i=20+18-722i=-342i

COMPRUEBE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS.

11. -125=55i

12. -310-200=-32i

13. -12=22i

14. 8-49100-9-1625=-85i

15.-8+3-82=2i-1

Suma de un número complejo

Para sumar dos números complejos se suma primero la parte real del primer número con la parte real del segundo. Luego se suma la parte imaginaria del primer número con la parte imaginaria del segundo. En forma de ecuación queda como sigue:

a+bi+ c+di=a+c+ bi+di
a+bi+ c+di=a+c+ b+di

Por ejemplo:

16. 3+7i+ 2+4i=3+2+7i+4i=5+7+4i=5+ 11i

La suma anterior se realizó en tres pasos, se recomienda al principio practicar los tres pasos, con un poco de práctica podemos realizar solo los dos últimos pasos, cuando tengamos varios ejercicios resueltos podremos aplicar directamente el último paso.
Veamos otros ejemplos con dos pasos:

17. 8-11i+13+2i=8+13+ -11+2i=21-9i

18....