Numeros complejos

´
Algebra. 2004-2005. Ingenieros Industriales.
Departamento de Matem´tica Aplicada II. Universidad de Sevilla.
a

Tema 3.- N´ meros Complejos.
u
Los n´ meros complejos.
u
Operaciones.
Las ra´
ıces de un polinomio real.
Aplicaciones geom´tricas de los n´ meros complejos: transformaciones en el plano.
e
u
Hist´ricamente los n´meros complejos fueron introducidos para tratar ecuacionespolinomiales, tales como
o
u
x2 + 1 = 0, que no tienen soluci´n real. En esta direcci´n, el resultado principal de esta lecci´n es el teorema
o
o
o
´
fundamental del Algebra que asegura que toda ecuaci´n polinomial con coeficientes complejos tiene, al menos,
o
una soluci´n.
o
Previamente habremos definido el n´mero complejo, sus operaciones m´s importantes y la interpretaci´n
u
a
ogeom´trica de las mismas, cuyo manejo nos permite describir transformaciones sobre el plano complejo.
e

1.

Los n´ meros complejos.
u

Definici´n. Un n´mero complejo es un n´mero de la forma z = a + bi (o z = a + ib) donde i verifica que
o
u
u
i2 = −1 y a y b son n´meros reales. A i se le llama unidad imaginaria. Los n´meros reales a y b se conocen,
u
u
respectivamente, como partereal y parte imaginaria del n´mero complejo z y se suele escribir
u
Re (z ) = a as´ como
ı

Im (z ) = b.

Dos n´meros complejos z y w son iguales si, y s´lo si,
u
o
Re (z ) = Re (w)

y

Im (z ) = Im (w) .

Al conjunto de los n´meros complejos lo denotaremos por C, es decir,
u
C = {z = a + bi : a, b ∈ R} .
Sea z = a + bi. Si b = 0 escribiremos simplemente a para denotar a z , si a= 0 escribiremos bi para denotar a
z . En este ultimo caso diremos que z es un n´mero imaginario puro. En lo que sigue identificaremos el n´mero
´
u
u
real a con el n´mero complejo a + 0i. De esta forma se puede entender que el conjunto de los n´meros reales es
u
u
un subconjunto de los n´meros complejos.
u

2.

Operaciones.

2.1.

Suma

Dados dos n´meros complejos z = a + bi y w= c + di definimos la suma z + w as´
u
ı:
z + w = (a + c) + (b + d) i.
Propiedades de la suma. Si z, w, v ∈ C se verifica:
1. Conmutativa: z + w = w + z .
2. Asociativa: (z + w) + v = z + (w + v ).
3. Existe un elemento nulo para la suma, el 0 = 0 + 0i tal que z + 0 = 0 + z = z para todo z ∈ C.
4. Cada n´mero complejo z = a + bi tiene un elemento opuesto −z = −a + (−b) i tal que z + (−z ) =0.
u
1

2.2.

Producto

Dados dos n´meros complejos z = a + bi y w = c + di se define el producto zw as´
u
ı:
zw = (ac − bd) + (ad + bc) i.
Propiedades del producto. Si z, w, v ∈ C se verifica:
1. Conmutativa: zw = wz .
2. Asociativa: (zw) v = z (wv ).
3. Existe un elemento unidad para el producto, el 1 = 1 + 0i tal que z 1 = 1z = z para todo z ∈ C.
4. Cada n´mero complejo z = a +bi = 0 tiene un elemento inverso z −1 tal que zz −1 = z −1 z = 1. De hecho,
u
si z = a + bi = 0 se tiene que
a
−b
z −1 = 2
+2
i.
a + b2
a + b2
Tambi´n se verifica una propiedad que relaciona la suma y el producto: la propiedad distributiva del producto
e
respecto de la suma
z (w + v ) = zw + zv.
El inverso de z lo representaremos por z −1 y por 1/z y
w
= w (1/z ) = wz −1 .
z
Paraobtener la parte real y la imaginaria en una divisi´n de n´meros complejos podemos hacer lo siguiente.
o
u
Si z = a + bi = 0 y w = c + di
w
c + di
−1
=
= (c + di) (a + bi) = (c + di)
z
a + bi

−b
a
+2
i
a2 + b 2
a + b2

=

(c + di) (a − bi)
.
a2 + b 2

De cualquier modo, tras estudiar la conjugaci´n y el m´dulo veremos otra t´cnica m´s eficiente para calcular el
o
o
e
ainverso de un n´mero complejo o dividir n´meros complejos.
u
u
Observaci´n. No es posible establecer en el conjunto de los n´meros complejos una relaci´n de orden que
o
u
o
verifique las mismas propiedades que verifica la relaci´n de orden que conocemos entre los n´meros reales.
o
u

2.3.

Conjugado de un n´mero complejo
u

u
Sea z = a + bi un n´mero complejo. Se define el...