NUMEROS COMPLEJOS
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EJERCICIOS RESUELTOS:
Números Complejos
Elena Álvarez Sáiz
Dpto. Matemática Aplicada y C. Computación
Universidad de Cantabria
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
Interpretación geométrica de la suma y el producto
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Si z1 y z 2 son complejos, ¿qué representa el número
z1 + z 2
2
. ¿Cuál es ellugar geométrico de los puntos
λz1 + µz 2 si λ y µ son reales y verifican λ + µ = 1 ?
Solución:
Gráficamente el afijo del número complejo
z1 + z 2
2
=
x1 + x 2
2
+i
y1 + y2
2
representa el punto medio del vector que une el origen con el afijo del número
complejo z1 + z 2
•
Los puntos de la forma λz1 + µz 2 son los puntos de la recta
λz1 + µz 2 = ( 1 − µ ) z1 + µz2 = z1 + µ ( z 2 − z1 )
es decir, la recta que pasa por z1 y cuyo vector director es z 2 − z1 .
2
Demuéstrese que si los puntos z1 , z 2 , z 3 son los vértices de un triángulo equilátero, entonces:
z12 + z 22 + z 32= z1z 2 + z1z 3 + z 2z 3
z 3 − z1
z 2 − z1
z1 − z 2
z 3 − z2
=
z 3 − z1 e
z 2 − z1 e
=
z1 − z 2 e
i arg(z 3 −z1 )
i arg(z 2 −z1 )
=e
π
i arg(z1 −z 2 )
z 3 − z2 e
i arg( z 3 −z1 )
=e
3
π
ya que
arg ( z 3 − z1 ) = arg ( z 2 − z1 ) +
2
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
π
3
3
i
i
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
π
= arg ( z1 − z 2 )
3
arg ( z 3 − z 2 ) +
Por lo tanto,
z 3 − z1
z 2 − z1
=
z1 − z 2
z 3 − z2
⇒ z 32 − z1z 3− z 2z 3 + z 2z1 = z 2z1 − z 22 − z12 + z1z 2 ⇒
⇒
z12 + z 22 + z 32 = z1z 2 + z1z 3 + z 2z 3
Veamos si es cierto o no el recíproco, es decir, veamos si es cierto que dados z1 , z 2 , z 3 son
z12 + z 22 + z 32= z1z 2 + z1z 3 + z 2z 3
los tres diferentes verificando
entonces forman un
triángulo equilátero.
Se realiza la traslación del triangulo llevando zo al origen: z * = z − z1 .Los números son
ahora:
* *
{ 0, z 2 − z1, z 3 − z1 } = { 0, z 2 , z 3 }
Entonces, la igualdad z12 + z 22 + z 32= z1z 2 + z1z 3 + z 2z 3 se transforma en
z 2*z 3* = z 2*2 + z 3*2
despejando
*2
* *
*2
z 3 − z2 z 3 + z 2 = 0
*
⇒ z3 =
⇒
resolvemos
la ecuación
de segundo
*
grado en z 3
1 *
z2 ±
2
(
*
*
Esto significa que z 3 es z 2 girado
π
3
*
3i z 2
31 *
*2
*2
z 2 + z 2 − 4z 2
2
(
)
⇒
1
*
* 1
⇒ z3 = z2 ±
3i
2 2
radianes (60 grados) y como
*
{ 0, z 2*, z 3 }
{ z1, z2* + z1, z2* + z1 − z1 } = { z1, z 2, z 3 } .
*
*
que z 3 = z 2 . Por lo tanto,
)
*
z3 =
1 1
±
3 i = 1 se tiene
2 2
forman un triángulo equilátero lo que significa que
Un triangulo equilátero tienesu centro en el origen y un vértice en el punto (1,0). Determinar los otros
dos vértices.
Profesora: Elena Álvarez Sáiz
S
3
Ingeniería de Telecomunicación
Ejercicios: Números Complejos
Fundamentos Matemáticos I
Los ángulos que forman dos lados de un triángulo equilátero son de
avanzar
π
radianes, luego hay que
3
π π
2π
+ =
. Por lo tanto, como uno de los vérticeses z1 = 1 = e 2πi , se tiene que
2
3
3
z 2 = e 2πie
z 3 = e 2πie
2 πi
2 πi
3e
3
2 πi
=e
3
2 πi
=e
3
4 πi
= cos
3
2π
2π
−1
3
+ isen
=
+
i
3
3
2
2
= cos
4π
4π
−1
3
+ isen
=
−
i
3
3
2
3
son los otros dos. En forma binómica
3 −1
3
,
(1, 0), −1 ,
2 ,−
2 2
2
Otraforma: Podía haberse resuelto el problema observando si los afijos de z1 , z 2 , z 3 forman
un triángulo equilátero entonces
z1 = z 2 = z 3
y el ángulo entre 0z1 y 0z 2 es el mismo que entre 0z 2 y 0z 3 y el mismo que entre 0z 2 y
0z1 . Por esta razón los tres vértices son las tres raíces cúbicas de la unidad. En efecto,
3
1 =e
2k π
i
3
k = 0,1, 2 ⇒ z1 = e 0i , z 2 = e
2π...
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