Numeros Complejos
Páginas: 8 (1856 palabras)
Publicado: 23 de mayo de 2012
1
1.
1.1.
El conjunto de los n´ meros complejos C. u
Motivaci´n o
Como ya hemos visto, la ecuaci´n x2 − 2 = 0, no tiene soluciones racionales por ello fue o necesario introducir los n´ meros reales. Por tanto la siguiente pregunta es, ¿ si x 2 + 1 = 0 no u tiene soluciones reales (¿por qu´?), entonces dicha ecuaci´n es irresoluble? e o Cardano en 1545 se plante´ el siguiente problema:dado un segmento AB de longitud 10 o unidades, dividirlo en dos partes de forma que el rect´ngulo que se forma tenga un area de a 40 unidades cuadradas. Para resolverlo, Cardano oper´ formalmente: Sea x la longitud de una o divisi´n y 10 − x el de la otra. Entonces, o √ A = x(10 − x) = 40 =⇒ x2 − 10x + 40 = 0 =⇒ x1,2 = 5 ± −15. Adem´s, formalmente verific´ la soluci´n: a o o √ √ √ A = (5 − −15)(5 +−15) = 52 − ( −15)2 = 25 − (−15) = 40. !!!! Es decir que la soluci´n venia dada por una ra´ de un n´ mero negativo. Tales soluciones o ız u se les denominaron imposibles o imaginarias. Fu´ Euler el primero en introducir la notaci´n e √ o √ −1 = i, de donde las soluciones la problema de Cardano se escribe como x 1,2 = 5 ± 15i, siendo i2 = 1.
1.2.
Definici´n y propiedades de los n´meroscomplejos. o u
Un n´ mero complejo z es un par ordenado de n´ meros reales x, y, es decir z = (x, y), donde u u x se denomina parte real de z e y se denomina parte imaginaria y se denotan por x = z, y = z. El conjunto de todos los n´ meros complejos lo denotaremos por C. Para los n´ meros complejos u u cualesquiera z1 = (x1 , y1 ) y z2 = (x2 , y2 ), se define la operaci´n suma “+” y multiplicaci´n “·”o o de la siguiente forma: z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2 ), z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + y1 x2 ).
Es f´cil comprobar que si z1 y z2 son n´ meros tales que z1 = z2 = 0, las operaciones anterioa u res coinciden con las de los n´ meros reales, de forma que los n´ meros reales son un subconjunto u u de los complejos, concretamente son los n´ meros complejos de la forma x = (x, 0). uUtilizando el conjunto de los n´ meros complejos C descubrimos que es posible resolver ecuau ciones algebraicas que no eran resolubles para los reales, por ejemplo x2 + 1 = 0, −→ x2 = −1 −→ x = i = (0, 1).
La expresi´n m´s com´ n para representar un n´ mero complejo es la forma bin´mica: o a u u o z = (x, y) = x + i y, donde x = z, y = z.
Antes de pasar al segundo punto de este apartado debemosdestacar que los n´ meros complejos u tambi´n satisfacen los axiomas de cuerpo, no as´ los de orden. e ı En efecto, probemos que para los complejos es imposible que se cumplan los axiomas (propiedades) de la definici´n de conjunto ordenado, es decir: o Un conjunto de elementos A es un conjunto ordenado si existe una relaci´n de orden ≤ tal o que cuales quiera sean a y b elementos de A se cumple que a ≤b o no se cumple y adem´s tienen a lugar los siguientes axiomas: 1. Para todo a ∈ A, a ≤ a
2
´ 1 EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS C. 2. Si a ≤ b y b ≤ a entonces a = b. 3. Si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c. 4. Para todos a, b ∈ A, o a ≤ b o b ≤ a.
Si adem´s, A es un cuerpo, entonces para cuales quiera sean a, b y c de A se tiene que a 5. Si a ≤ b entonces a + c ≤ b + c. 6. Si 0 ≤ a y 0≤ b entonces 0 ≤ a · b. Supongamos por ejemplo que i = 0. Entonces o i < 0 o i > 0. Si i > 0, entonces por el axioma 6. i · i > 0, luego −1 > 0, o equivalentemente, 0 > 1 (lo cual pudiera ser cierto en C pues no hemos decidido todav´ que criterio vamos a utilizar para ordenarlos). Ahora bien, si ıa −1 > 0, entonces −1 · (−1) > 0, de donde 1 > 0, lo cual es imposible por el axioma 4. de ladefinici´n de orden. Es decir es imposible que i > 0. Un razonamiento an´logo demuestra que i o a no puede ser menor que cero (probar esto ultimo como ejercicio). Luego no hay forma alguna ´ u o que nos permita ordenar los complejos seg´ n la definici´n de conjunto ordenado.
1.3.
Operaciones elementales.
Sean z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 dos n´ meros complejos cualesquiera, entonces u z1 ± z2 =...
1.
1.1.
El conjunto de los n´ meros complejos C. u
Motivaci´n o
Como ya hemos visto, la ecuaci´n x2 − 2 = 0, no tiene soluciones racionales por ello fue o necesario introducir los n´ meros reales. Por tanto la siguiente pregunta es, ¿ si x 2 + 1 = 0 no u tiene soluciones reales (¿por qu´?), entonces dicha ecuaci´n es irresoluble? e o Cardano en 1545 se plante´ el siguiente problema:dado un segmento AB de longitud 10 o unidades, dividirlo en dos partes de forma que el rect´ngulo que se forma tenga un area de a 40 unidades cuadradas. Para resolverlo, Cardano oper´ formalmente: Sea x la longitud de una o divisi´n y 10 − x el de la otra. Entonces, o √ A = x(10 − x) = 40 =⇒ x2 − 10x + 40 = 0 =⇒ x1,2 = 5 ± −15. Adem´s, formalmente verific´ la soluci´n: a o o √ √ √ A = (5 − −15)(5 +−15) = 52 − ( −15)2 = 25 − (−15) = 40. !!!! Es decir que la soluci´n venia dada por una ra´ de un n´ mero negativo. Tales soluciones o ız u se les denominaron imposibles o imaginarias. Fu´ Euler el primero en introducir la notaci´n e √ o √ −1 = i, de donde las soluciones la problema de Cardano se escribe como x 1,2 = 5 ± 15i, siendo i2 = 1.
1.2.
Definici´n y propiedades de los n´meroscomplejos. o u
Un n´ mero complejo z es un par ordenado de n´ meros reales x, y, es decir z = (x, y), donde u u x se denomina parte real de z e y se denomina parte imaginaria y se denotan por x = z, y = z. El conjunto de todos los n´ meros complejos lo denotaremos por C. Para los n´ meros complejos u u cualesquiera z1 = (x1 , y1 ) y z2 = (x2 , y2 ), se define la operaci´n suma “+” y multiplicaci´n “·”o o de la siguiente forma: z1 + z2 = (x1 + x2 , y1 + y2 ), z1 · z2 = (x1 x2 − y1 y2 , x1 y2 + y1 x2 ).
Es f´cil comprobar que si z1 y z2 son n´ meros tales que z1 = z2 = 0, las operaciones anterioa u res coinciden con las de los n´ meros reales, de forma que los n´ meros reales son un subconjunto u u de los complejos, concretamente son los n´ meros complejos de la forma x = (x, 0). uUtilizando el conjunto de los n´ meros complejos C descubrimos que es posible resolver ecuau ciones algebraicas que no eran resolubles para los reales, por ejemplo x2 + 1 = 0, −→ x2 = −1 −→ x = i = (0, 1).
La expresi´n m´s com´ n para representar un n´ mero complejo es la forma bin´mica: o a u u o z = (x, y) = x + i y, donde x = z, y = z.
Antes de pasar al segundo punto de este apartado debemosdestacar que los n´ meros complejos u tambi´n satisfacen los axiomas de cuerpo, no as´ los de orden. e ı En efecto, probemos que para los complejos es imposible que se cumplan los axiomas (propiedades) de la definici´n de conjunto ordenado, es decir: o Un conjunto de elementos A es un conjunto ordenado si existe una relaci´n de orden ≤ tal o que cuales quiera sean a y b elementos de A se cumple que a ≤b o no se cumple y adem´s tienen a lugar los siguientes axiomas: 1. Para todo a ∈ A, a ≤ a
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´ 1 EL CONJUNTO DE LOS NUMEROS COMPLEJOS C. 2. Si a ≤ b y b ≤ a entonces a = b. 3. Si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c. 4. Para todos a, b ∈ A, o a ≤ b o b ≤ a.
Si adem´s, A es un cuerpo, entonces para cuales quiera sean a, b y c de A se tiene que a 5. Si a ≤ b entonces a + c ≤ b + c. 6. Si 0 ≤ a y 0≤ b entonces 0 ≤ a · b. Supongamos por ejemplo que i = 0. Entonces o i < 0 o i > 0. Si i > 0, entonces por el axioma 6. i · i > 0, luego −1 > 0, o equivalentemente, 0 > 1 (lo cual pudiera ser cierto en C pues no hemos decidido todav´ que criterio vamos a utilizar para ordenarlos). Ahora bien, si ıa −1 > 0, entonces −1 · (−1) > 0, de donde 1 > 0, lo cual es imposible por el axioma 4. de ladefinici´n de orden. Es decir es imposible que i > 0. Un razonamiento an´logo demuestra que i o a no puede ser menor que cero (probar esto ultimo como ejercicio). Luego no hay forma alguna ´ u o que nos permita ordenar los complejos seg´ n la definici´n de conjunto ordenado.
1.3.
Operaciones elementales.
Sean z1 = x1 + iy1 y z2 = x2 + iy2 dos n´ meros complejos cualesquiera, entonces u z1 ± z2 =...
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