Numeros complejos

Leonhard Paul Euler

NÚMEROS
COMPLEJOS
Martti Oliva - Números complejos

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Índice
1. Historia
2. Números complejos
a. Definición
b. Representación
c. Operar con números complejos
d. Números complejos de forma polar
e. Propiedades interesantes
3. Aplicaciones de los números complejos
4. Fórmula de Euler y trigonometría

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1. HistoriaDurante todo el transcurso de primaria y secundaria, hemos oído hablar de unos números un tanto
complejos e inexplicables hasta ese momento. Pero al comenzar 1º de Bachillerato, podemos
observar que en los libros de matemáticas, ha aparecido un nuevo tema en concreto: Números
Complejos.
Antes de profundizar en la historia de los números, es bueno saber que son. Existen ecuaciones
que carecen desolución en el conjunto de los números reales. Por ejemplo, la ecuación x2 + 9 = 0
no tiene solución real, ya que no existe ningún número real que elevado al cuadrado dé -9.
Para comenzar, debemos conocer el origen de los números complejos. La primera referencia que
se encontró de los números complejos fue en la obra Estereometría de Herón de Alejandría,
alrededor de la mitad del siglo I. Enun fragmento, aparece la raíz cuadrada de un número
negativo.
La siguiente referencia sobre los números complejos se data en el año 275 en la obra de
Diophantus, Arithmetica. En su intento de calcular los lados de un triángulo rectángulo de
perímetro 12 y área 7, Diophantus planteó resolver la ecuación 336 x2 + 24 = 172 x, ecuación de
raíces complejas.
La primera explicación a estos númerosla dan los matemáticos hindúes. Mahavira, en el año
850, comentó en su tratado de los números negativos la primera definición:
“como en la naturaleza de las cosas una cantidad negativa no es un cuadrado, por
tanto no puede tener raíz cuadrada”.
Posteriormente, Bhaskara, en 1150, hacía referencia en su libro Lilavati a la inexistencia de la raíz
cuadrada de un número negativo de esta forma:“El cuadrado de un número, positivo o negativo, es positivo; la raíz cuadrada de
un número positivo tiene dos valores, uno positivo y otro negativo; no existe raíz
cuadrada de un número negativo ya que un número negativo no es un cuadrado.”

Primeros estudios: S. XVI
En 1545, Jerome Cardan, matemático, físico y filósofo italiano, publicó “Ars Magna” en el cual
describe un método para resolverecuaciones algebraicas de grado tres y cuatro. Esta obra
se convertía así en el mayor tratado de álgebra desde los Babilonios, 3000 años antes, que
dedujeron cómo resolver la ecuación de segundo grado. Un problema planteado por Cardan en su
trabajo es el siguiente:
“Si alguien te pide dividir 10 en dos partes cuyos producto sea... 40, es evidente
que esta cuestión es imposible. No obstante,nosotros la resolvemos de la siguiente
forma.”

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1. Historia
Fue el ingeniero hidráulico Rafael Bombelli, unos treinta años después de la publicación
de la obra de Cardan, quien introdujo un razonamiento a las conclusiones de Cardan. Este
razonamiento se convierte por tanto como el nacimiento de la variable compleja. Bombelli
desarrolló un cálculo deoperaciones con números complejos que se ajusta a los que conocemos
en la actualidad.
A principios de 1620, Albert Girard sugirió que las ecuaciones de grado n tenían n raíces.
René Descartes, que bautizó con el nombre de imaginarios a estos números, apuntó también que
toda ecuación debía tener tantas raíces como indica su grado, aunque alguna de ellas podían ser
números imaginarios.
Losnúmeros complejos fueron ampliamente utilizados en el siglo XVIII. Leibniz y Johan
Bernoulli usaron números imaginarios en la resolución de integrales.
Los números complejos fueron usados por Johann Lambert en proyecciones, por Jean D'Alembert
en hidrodinámica y por Euler, D’Alembert y Joseph-Louis Lagrange en pruebas erróneas del
teorema fundamental del álgebra. Euler fue el primero en usar la...