Numeros Complejos

NUMEROS COMPLEJOS
Los números complejos son una extensión de los números reales y forman un mínimo.
Un número complejo es una combinación de un número real y un número imaginario; el número complejo puede representarse como la suma de un numero real y un numero imaginario( que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra “i” ).
Los números complejos son laherramienta de trabajo del algebra ordinaria, llamada “Algebra de los números complejos”.
También llamaremos i= a la unidad imaginaria. Un numero complejo se define como (forma binomica) donde “a” se le llama parte real y “b” se le llama parte imaginaria.

Formas de representación

Forma binómica.
un numero complejo se representa en FORMA BINOMICA como:

la parte real del numero complejo y laparte imaginaria, se puede expresar en varias maneras, como se muestra a continiacion.


Podemos considerar C como un espacio vectorial isomorfo a , de este modo se tiene:

Gráficamente, podemos representar (y por tanto C) como un plano.

Forma polar o módulo-argumento

Otra forma de expresar un número complejo es la forma polar o forma módulo-argumento,

donde es el módulo de , ydonde q es un argumento de , esto es, q es un ángulo tal que
, .


Propiedades de los Conjugados
· Primera propiedad
El conjugado del conjugado de un complejo z es el propio z.
Demostración:
si z = a + bi se tiene que = a - bi , de donde, = a + bi = z
· Segunda propiedad
Dados dos números complejos cualesquiera z y z' , el conjugado de su suma es igual a la suma de sus conjugados.
Demostración:Tomando : z = a + bi y z' = c + di
Se obtiene:
a + bi y ' = c - di
Con lo que:
(a + bi ) + (c - di ) = (a + c) + (-b - d)i
· Tercera propiedad
El conjugado del producto de dos números complejos es igual al producto de los conjugados de dichos números:
Demostración:
Si z = a + bi y z = c + di
Se tiene que z · z = (ac - bd ) + (ad + bc)i
Cuyo conjugado es (ac - bd) - (ad + bc)i .Calculando por otro lado el producto de los conjugados, resulta que
(a - bi )( c - di ) = ( ac - bd ) + ( -ad - bc) i .
· Cuarta propiedad
Los complejos que coinciden con sus conjugados son los números reales.
Demostración:
Sea un complejo a + bi que coincida con su conjugado.
Esto equivale a que:
a + bi = a - bi
Pero esto sólo ocurre si b = 0, es decir si a + bi es un número real.
· Quintapropiedad
La suma y el producto de un complejo y su conjugado son, ambos, números reales.
Demostración: (a + bi ) + (a - bi ) = 2a
(a + bi ) (a - bi ) = a2 - (bi )2 = a2 + b2
Complejo opuesto
Dado un número complejo (x,y) el complejo opuesto sería (-x,-y)
Si al número complejo lo representamos por n, el complejo opuesto se representa por n'.
Si z = a +bi
El opuesto de z seria -z = -a - b
ElConjugado de z seria z = a + bi

Operaciones con Números Complejos
Suma de Números Complejos
Dados dos números complejos a + bi y c + di se definen su suma como:
(a + bi ) + (c + di ) = (a + c) + (b + d)i
Propiedades de la Suma de Números Complejos
La suma de números complejos tiene las siguientes propiedades:
· Conmutativa
Dados dos números complejos a + bi y c + di se tiene la igualdad:(a + bi ) + (c + di ) = (c + di ) + (a + bi )
Ejemplo:
(2 - 3i ) + (-3 + i ) = (2 - 3) + i (-3 + 1) = -1 - 2i
(-3 + i ) + (2 - 3i ) = (-3 + 2) + i (1 - 3) = -1 - 2i
· Asociativa
Dados tres complejos a + bi, c + di y e + fi , se cumple:
[(a + bi ) + (c + di )] + (e + fi ) = (a + bi ) + [(c + di ) + (e + fi )]
Ejemplo:
[(5 + 2i ) + (3 - 4i )] + (-9 + 8i ) = (8 - 2i ) + (-9 + 8i ) = -1 + 6i(5 + 2i ) + [(3 - 4i ) + (-9 + 8i )] = (5 + 2i ) + (-6 + 4i ) = -1 + 6i
· Elemento neutro
El elemento neutro es 0 + 0i , puesto que
(a + bi ) + (0 + 0i ) = (a + 0) + i (b + 0) = a + bi
El número 0 + 0i se escribe simplificadamente 0 y se le llama «cero».
· Elemento simétrico
El elemento simétrico de un número complejo cualquiera a + bi es (- a - bi ):
(a + bi ) + (-a - bi) = 0 + 0i = 0...